27. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения и её свойства.
Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение также можно задать в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).
Полигон частот – это ломаная, отрезки которой соединяют точки (xi, ni).
Полигон относительных частот – это ломаная, отрезки которой соединяют точки (xi, wi)
Гистограммой
частот называют ступенчатую фигуру,
состоящую из прямоугольников, основаниями
которых являются частичные интервалы
длинной h, а высоты равны
отношению
- плотность частоты.
Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x:
,
где nx – число вариант, меньших x; n – объём выборки.
F*(x) обладает всеми свойствами F(x):
F*(x)
[0 , 1];
F*(x) – неубывающая функция;
если x1 - наименьшая варианта, то F*(x)=0 при x ≤ x1;
если xk – наибольшая варианта, то F*(x)=1 при x > xk.
28. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Генеральная и выборочная средние.
Несмещённой называют статистическую оценку Q*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Q при любом объёме выборки, т. е.
M (Q* ) = Q.
Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объёме выборки) имеет наименьшую возможную дисперсию.
Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру.
Генеральной
средней
называется среднее арифметическое
значений признака генеральной совокупности
.
Если значения признака x1, x2, …, xк имеют соответственно частоты N1, N2, …, Nk, то
.
Выборочной
средней
называют среднее арифметическое значений
признака выборочной совокупности
или
.
В качестве оценки принимают .
29. Генеральная и выборочная дисперсии. Формула для вычисления дисперсии. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.
Генеральной дисперсией DГ называется среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака генеральной совокупности от их среднего значения :
или
.
Выборочной дисперсией DВ называется среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения :
или
.
Дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат общей средней:
.
Получаем исправленную выборочную дисперсию:
.
S2 является несмещённой оценкой DГ.
В качестве оценки DГ принимают исправленную выборочную дисперсию:
,
где S – исправленное среднеквадратическое отклонение.