Теорема Ляпунова

Рассмотренные теоремы закона больших чисел касаются вопросов приближения некоторых случайных величин к определённым предельным значениям независимо от их закона распределения. В теории вероятностей существует другая группа теорем, касающихся предельных законов распределения суммы случайных величин. Общее название этой группы теорем — центральная предельная теорема. Различными её формы различаются условиями, накладываемыми на сумму составляющих случайных величин.

Закон распределения суммы независимых случайных величин   приближается к нормальному закону распределения при неограниченном увеличении  , если выполняются следующие условия:

1) все величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии:

 где  .

2) ни одна из величин по значению резко не отличается от остальных:

При решении многих практических задач используют следующую формулировку теоремы Ляпунова для средней арифметической наблюдавшихся значений случайной величины  , которая также является случайной величиной (при этом соблюдаются перечисленные два условия):

если случайная величина   имеет конечные математическое ожидания   и дисперсию  , то распределение средней арифметической  , вычисленной по наблюдавшимся значениям случайной величины в   независимых испытаниях, при   приближается к нормальному закону с математическим ожиданием   и дисперсией  , то есть

Поэтому вероятность того, что   заключена в интервале  , можно вычислить по формуле

Используя функцию Лапласа ([url]см. приложение 2[/url]), формулу (9.5) можно записать в удобном для расчётов виде:

 где 

Следует отметить, что центральная предельная теорема справедлива не только для непрерывных, но и для дискретных случайных величин. Практическое значение теоремы Ляпунова огромно. Опыт показывает, что закон распределения суммы независимых случайных величин, сравнимых по своему рассеиванию, достаточно быстро приближается к нормальному. Уже при числе слагаемых порядка десяти закон распределения суммы можно заменить на нормальный.

24. Основные понятия теории случайных процессов: случайный процесс, случайный процесс с дискретным и с непрерывным временем, с дискретными и с непрерывными значениями. Примеры. Определения: марковский процесс, вероятности состояний, переходные вероятности, однородный марковский процесс.

Случайный процесс – это семейство случайных величин х(t), где параметр tєТ – множеству значений параметра.

Если параметр t принимает дискретные значения (t=0;1;2…), то имеем случайный процесс с дискретным временем; если t принимает значения из некоторого интервала (конечного или бесконечного), то имеем случайный процесс с непрерывным временем.

В свою очередь, если случайные величины семейства принимают дискретные значения, то имеет место случайный процесс с дискретными значениями, если непрерывные – то случайный процесс с непрерывными значениями.

К процессам с дискретными значениями относятся, например, процессы образования очередей, распространение мутации генов в биологической популяции. К процессам с непрерывными значениями – процесс изменения напряжения в осветительной сети, процесс перемешивания шихты во время плавки в доменной печи.

Марковский процесс - протекающий в системе случайный процесс, который обладает свойством: для каждого момента времени t₀ вероятность любого состояния системы в будущем (при t>t₀) зависит только от ее состояния в настоящем (при t= t₀) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т.е. как развивался процесс в прошлом).

Вероятности состояний P_k(t) марковского процесса – это вероятности того, что случайный процесс (система) в момент времени t находится в состоянии S_k:

П ереходные вероятности марковского процесса – это вероятности перехода процесса (системы) из одного состояния в другое:

Марковский процесс называется однородным, если вероятности перехода за единицу времени не зависят от того, где на оси времени происходит переход.