11. Распределение Бернулли (определение, закон распределения, функция распределения, график функции распределения, числовые характеристики).

Распределение Бернулли

Производится один опыт (или наблюдение), в котором может произойти или не произойти событие А. Вероятность того, что событие А произойдет, равна числу p. Один такой опыт, в котором возможны лишь два исхода («успех» и «неудача»), называют испытанием Бернулли.

Пусть случайная величина X характеризует появление события А в данном опыте, то есть

Тогда p{X = 1} = p(A) = p; p{X = 0} = p( ) = 1 – p = q. Говорят, что случайная величина X распределена по Бернулли. Функция распределения такой величины имеет вид

(16)

Такая величина может возникнуть, например, при бросании монеты (событие А – выпадение орла, р(А) = 0,5, р( ) = 0,5), при бросании игральной кости (событие А - выпадение пяти очков, р(А) = 1/6, р( ) = 5/6).

Запишем ряд распределения и найдём числовые характеристики распределения Бернулли:

X	1	0
p	p	1-p

(17)

12. Геометрическое распределение (определение, закон распределения, функция распределения, график функции распределения, числовые характеристики).

Рассматривается последовательность испытаний, в каждом из которых может произойти событие А с вероятностью р. Опыты проводятся до первого появления события А.

Случайная величина Х – число опытов до наступления первого успеха – может принимать значения 0, 1, 2, … , k, … , при этом

X	0	1	2	3	…	k	…
P	p	pq			…		…

Говорят, что случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром р, так как вероятности р, pq, , … , , … образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q.

(24)

13. Биномиальное распределение (определение, закон распределения, график функции распределения, числовые характеристики).

Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может произойти (с вероятностью р) или не произойти (с вероятностью 1- р = q) некоторое событие А, то есть производится n независимых испытаний Бернулли. Повторные независимые испытания Бернулли называют схемой Бернулли.

Рассмотрим случайную величину Х, равную числу «успехов» в схеме Бернулли. Очевидно, событие А в n испытаниях может либо не появиться, либо появиться один раз, либо два раза, … , либо n раз. Таким образом, возможные значения Х таковы: Вероятности этих возможных значений определяются формулой Бернулли:

,

где k = 0, 1, 2, … , n.

Формула является аналитическим выражением биномиального распределения. Другими словами, биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.

Запишем биномиальный закон в виде таблицы:

Х	0	1	2	…	k	…	n - 1	n
Р				…		…

Функция распределения случайной величины Х, подчиняющейся биномиальному закону, имеет вид: