45. Задачи дробно-линейного программирования и их примеры. Графическая интерпретация дробно-линейной целевой функции.

Необходимо определить такой набор управляемых факторов, целевой функции, заданной в виде дроби, где в числителе и знаменателе стоят линейные выражения линейные относительно переменных. А так же удовлетворяют некоторым ограничениям и условию неотрицательности.

Чтобы построить прямую необходимо выразить одну переменную через другую.

Линия будет выходить из начала координат.

61.Связь между оптимальными решениями двух взаимо двойственных задач.

Каждой задаче линейного программирования соответствует другая двойственная или сопряженная задача, позволяющая оценить оптимальность решения первой без сравнения его со всеми другими решениями.

Например: одно предприятие заинтересовано получить макс выручку от продажи ресурсов другому, которое намерено минимизировать свои затраты по отношению к этим ресурсам. Первая задача исходная, вторая двойственная.

Взаимо двойственные задачи обладают свойствами:

- в одной задаче ищут макс, в др мин

- в первой задаче все неравенства <=, а во второй >=

- коэффициенты при переменных в одной, являются свободными членами в ограничения в другой

- матрицы коэффициентов являются транспонированными друг к другу

- число ограничений совпадает

- переменные в обеих задачах неотрицательны

- значение первой функции при произвольных параметрах всегда меньше

Оптимальные решения таких задач связаны следующим образом:

- оптимальные значения целевых функций от оптимальных решений равны

- если одна задача имеет оптимальное решение, то его имеет и вторая

- положительным компонентам оптимального решения одной задачи соответствуют нулевые компоненты оптимального решения другой

- компоненты оптимального решения одной задачи равны абсолютным значениям коэффициентов при переменных в целевой функции другой

62.Третья теорема двойственности. Ее экономический смысл.

Первая:если одна из двойственных задач имеет решение, то его имеет и вторая, причем оптимальные значения их целевых функций равны

Вторая: компоненты оптимального решения одной задачи равны абсолютным значениям коэффициентов при переменных в целевой функции другой

Третья: Устанавливает, как изменяется целевая функция (максимальная выручка от производства и продажи продукции) при наибольшем изменении компонентов второй задачи (запасов ресурсов).

63.Анализ оптимального решения исходной задачи с помощью двойственных оценок.

Компоненты оптимального решения двойственной задачи называются оптимальными двойственными оценками исходной задачи.

Такие оценки определяют степень дефицитности: дефицитные (полностью используемые) получают ненулевые оценки, а недефицитные нулевые. Также они показывают, на сколько денежных единиц изменится макс выручка при изменении запаса соответствующего ресурса на одну единицу, но позволяют судить только о сравнительно небольших изменениях. Оптимальное решение находится в пределах устойчивости оценок. Например, с помощью двойственных оценок ресурсов возможно сопоставление оптимальных условных затрат и результатов производства (рассчитать затраты на производство одной единицы, исходя из оценок ресурсов, и сравнить с исходной ценой).

Часть 2

1. и 2. Модель Леонтьева. Распределение валовой продукции отраслевой экономической системы. Построение таблицы «затраты - выпуск» для экономической системы, состоящей из n отраслей. Коэффициенты прямых затрат. Матрица прямых затрат. Определение продуктивной матрицы прямых затрат, признаки продуктивной матрицы прямых затрат.Модель Леонтьева. Смысл векторов – столбцов и матриц, входящих в модель Леонтьева. Продуктивный режим работы экономической системы, продуктивная матрица прямых затрат, признаки продуктивности матрицы прямых затрат.

Модель Леонтьева (модель межотраслевого баланса или модель затраты – выпуск) – является балансовой и устанавливает связь между объемами производимой в каждой отрасли продукции, их потреблением всеми отраслями в процессе производства и объемами потребления продукции вне производственной сферы.

– объем продукта хi, выпускаемого iой отраслью(валовый выпуск)

– объем продукта iой отрасли, который поступает в каждую jую отрасль(хij) и затрачиваются там на производство продукта(производственное потребление)

– объем продукта(уi) , направляемого iой отраслью на непроизводственное потребление (= конечный спрос, конечное потребление или конечный продукт)– в продажу населению, на экспорт, инвестиции;

(Объем продукта, выпускаемого отраслью i) = (Суммарный объем продукта, поступающий во все n отраслей, в том числе оставляемый в отрасли i)+(Объем продукта, поступающий на производственное потребление)

Где «а» - это объем продукции, производимой в iой отрасли и затрачиваемой на производство единицы продукции в jой отрасли. Тогда j=хj , то Xij=аij*хj

Коэффициент аij – коэффициент прямых материальных затрат. Не изменяется во времени в течении рассматриваемого временного промежутка.

Тоже самое в матричном виде выглядит так:

X=A*X+Y

А - матрица прямых затрат:

Определение:

Режим работы экономической производственной системы , при котором каждая отрасль выпускает продукта больше, чем ее затрачивается на производстве продукции во всех отраслях, называется продуктивным.

Признаки:

Матрица будет продуктивной только если система уравнений модели Леонтьева Х=А*Х+У имеет неотрицательное решение Х>=0 (хi>= 0,i=1, 2, …, n) для положительного вектора конечного спроса Y>0.

3. Модель Леонтьева. Определение из модели Леонтьева: 1) вектора – столбца конечного(непроизводственного) потребления по известному вектору – столбцу валовой продукции отраслей, 2) вектора – столбца валовой продукции отраслей по известному вектору – столбцу объемов конечного (непроизводственного) потребления. Понятие матрицы полных материальных затрат, смысл ее коэффициентов.

Модель Леонтьева X=A*X+Y позволяет рассчитать валовые объемы продукции Х отраслей для заданного вектора конечного спроса Y (E – единичная диагональ матрицы) по матричному выражению:

X=((E-A)^(-1))*Y=B*Y

Расчет вектора конечного спроса У для известных валовых выпусков Х: Y=(E-A)*X

Матрица В=(Е – А)^(-1) –называется матрицей полных материальных затрат(обратная от (Е-А)).

Экономический смысл элементов bij вытекает из Х=В*У =>

bij - показывает какое количество продукта xi, выпускаемого отраслью i, требуется для производства единицы прибавочного продукта отраслью j.

4 и 5.Модель международной торговли. Структурная матрица международной торговли. Соотношение между выручкой и национальным доходом каждой страны, участвующей в международной торговле. Сбалансированная (бездефицитная) международная торговля. Условие сбалансированности международной торговли. Модель международной торговли. Собственное значение и собственный вектор структурной матрицы международной торговли. Условие баланса международной торговли с точки зрения собственного значения и собственного вектора структурной матрицы международной торговли.

Система балансовых уравнений, устанавливает распределение национальных доходови выручки торгующих между собой стран, при этом международная торговля бездефицитна и сбалансирована.

х1…хn– национальные доходы стран

xij– расходы j-ой страны на покупки в i-ой

Уравнение баланса – затратить можно столько денег, сколько имеется.

Для каждой страны оно: xj=x1j+ x2j+ x3j+…+ xnj, разделим каждое из n уравнений баланса на xj

аij = xij/xj - доля национального дохода страны j тратится на покупки в i-ой

из коэффициентов аij можно составить матрицу А, она называется структурной матрицей торговли, ее особенность в том, что сумма элементов каждого столбца 1.

С другой стороны затраты одних стран - доходы других.

рi= xi1 + xi2 + xi3 + …+ xin, таких равенств n, для каждой страны

xij=аijxj

можно их переписать,как:

рi= аi1x1 + аi2x2 + аi3x3 + …+ аiixn

также их можно записать в матричном виде:

р1

р= … =Ах

рn

Торговля выгодна, если выручка (р) будет не меньше затрат (х).

Одновременное выполнение всех неравенств возможно только в случае равенств (р=х).

Значит Ах=х – уравнение сбалансированности международной торговли.

Матричное уравнение Ах=λх, где λ - собственное значение, а х - собственный вектор матрицы А.

Сравнив Ах=х и Ах=λх, понимаем, что λ=1, а х – собственный вектор, вектор национальных доходов стран.

Так, международная торговля будет сбалансированной, если λ=1, а х – собственный вектор, вектор национальных доходов стран. Зная матрицу А, можно также найти значения национальных доходов (вектор х).