Математика. Экзамен

Вопрос 2

Числовая последовательность.

Если каждому натуральному числу n сопоставлено действительное число х_n, то множество чисел х_1,х_2…х_n, называется последовательностью.

Предел последовательности.

Число а называется пределом числовой последовательности, если для любого положительного и сколько угодно малого числа Е существует номер N, начиная с которого все элементы последовательности будут находиться на расстоянии от точки a меньше, чем от Е.

Число а называется приделом последовательности, если для любого положительного и сколь угодно малого числа Е найдется номер N, начиная с которого все элементы последовательности удовлетворяют неравенству | x_n-a|<E.

Примеры. = 1 -1/n

Вопрос 3.

Предел функции.

Число А называется пределом функции f(x) при х стремящийся к а, если для любой последовательности {x_n}такой, что предел стремящийся к бесконечности x_n=а, соответствующая последовательность значений функции f(x1), f(x2), f(x3), . . . . f(xN), имеет предел, равный одному и тому же числу А.

Обозначение: (у нас равно А)

Свойства пределов.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Вопрос 5.

Первый и второй замечательные пределы. 

1)

2)  

(Дописать)

Вопрос 6.

Непрерывность функций в точке.

Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале (a;b), содержащем точку х₀. Функция называется непрерывной в точке х_0, если существует конечный предел при Х→Х₀ и он равен значению функции в этой точке.

 

Если функция непрерывна в любой точке интервала (a;b), то она называется непрерывной на этом интервале.

Точка разрыва.

Если в некоторой точке функция не является непрерывной, то эта точка называется точкой разрыва функции.

Примеры.

Функция f(x) =   имеет в точке х₀ = 0 точку разрыва т.к.

.

 

• 

Вопрос 7.

Функции, непрерывные на интервале.

Определение.

Функция y=f(x) называется непрерывной на интервале (a;b), если она непрерывна в любой точке этого интервала.

Утверждение.

Если функция f(x) непрерывна на интервале (a;b), то функция с*f(x) непрерывна на (a;b). Если функции f(x) и g(x) непрерывны на (a;b), то функции f(x)±g(x), f(x)*g(x) тоже непрерывны на (a;b), причем если g(x)≠0 при любом Х€(a;b), то функция f(x)/g(x) тоже непрерывна на интервале (a;b).

Вопрос 8.

Производная функции, ее геометрический и механический смысл.

Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале (a;b), содержащем точку Х_0. Если существует конечный предел , то этот предел и называется производной функции y=f(x) в точке Х₀.

Производная функции в точке Х₀ есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0.

Геометрический смысл.

Производная функции y=f(x) в точке Х₀ равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Механический смысл.

Пусть материальная точка движется прямолинейно и   - длина пути, проходимого за время  , отсчитываемого от некоторого момента времени  .

Для определения скорости   в данный момент   придадим переменной   некоторое приращение  , при этом приращение пути будет равно  .

Отношение   называется в физике величиной средней скорости движения за промежуток времени, начиная с момента времени  , и обозначается

Предел   называется величиной мгновенной скорости движения в момент времени  .Таким образом, мгновенная скорость в момент времени   прямолинейного движения, совершаемого по закону   равна значению производной  .

Уравнение касательной к графику функции y=f(x), в точке (X₀; f(x₀))

Yкас.= f(x₀) + f `(x₀)*(x-x₀)

Дифференцируемость.

Если функция имеет производную в точке х₀, то она называется дифференцируемой в точке х₀, а нахождение её производной называется дифференцированием функции.

Утверждение. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀, то она и непрерывна в этой точке.

Замечание. Из непрерывности функции в точке дифференцируемость в этой точке не следует.