Вопрос 26.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

y`=f(x)*g(x),

y`/g(y)=f(x)

y`dx/g(y)=f(x)dx

dy/g(y)=f(x)dx

∫dy/g(y)=∫f(x)dx

f(x)=lne^f(x)

Вопрос 27.

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка.

1) Однородные:

, (1)

где a(x), b(x), c(x) – функции зависящие от x.

2) Неоднородные:

, (2)

Функции y₁(x) и y₂(x) называется линейно независимыми, если

Теоремы об общем решении однородного и неоднородного уравнений.

1) Если y₁(x) и y₂(x) – два линейно независимых решения линейного однородного диф. уравнения 2-го порядка (1), то общее решение этого уравнения можно представить в виде:

,

то задача решения уравнения (1) сводится к нахождению двух его частных линейно независимых решений.

2) Пусть – некоторое частное решение уравнения (2), – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения. Тогда общее решение диф. уравнения (2) можно задать следующей формулой:

Вопрос 28.

Линейные диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

 Уравнение вида

A y'' +By' +Cy = f(x),

где A,B,C – вещественные числа, f(x) – непрерывная функция, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Нахождение общего решения однородного уравнения.

Рассмотрим линейное уравнение второго порядка вида: 

y''+ρy'+qy=0,                                                      (1)

у которого правая часть f(x) равна нулю. Такое уравнение называется однородным.

Уравнение

K²+ρK+q=0                                             (2)

называется характеристическим уравнением данного уравнения (1).

Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через К₁ и К₂.

Общее решение уравнения (1) может быть записано в зависимости от величины дискриминанта D=b²–4ac уравнения (2) следующим образом:

1. При D>0 . Тогда уравнение (2) имеет два различных корня К₁ и К_2. Тогда получаем два решения дифференциального уравнения (1): y₁= ^x и y₂= ^x

 

2. При D=0 корни характеристического уравнения равные К₁=К₂=К, и общее решение имеет вид: 

3. Если D<0, то корни характеристического уравнения комплексные: 

, где   – мнимая единица,   и общее решение (К₁=α+βi, К₂=α–βi, β≠0), имеет вид 

y = с₁e^αxcosβx+C₂e^αxsinβx.

Вопрос 29.

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Подбор частного решения неоднородного уравнения при специальном виде правой части.

Это уравнения вида:

1. f(x) – многочлен степени n

A) Если число «0» не является корнем харак. уравнения, то ищем в виде многочлена степени n

Б) Если число «0» является корнем харак. уравнения (кратности r), то у_ч.н. ищем в виде:

, где многочлен степени n.

2. f(x) имеет вид

А) Если число m не является корнем харак. уравнения, то у_ч.н. ищем в виде

Б) Если число m не является корнем харак. уравнения (кратности r), то у_ч.н. ищем в таком виде:

3. Пусть

А) Если число li не является корнем харак. уравнения, то у_ч.н. ищем в таком виде:

Б) Если число li является корнем характеристического уравнения (кратности r), то у_ч.н. ищем в таком виде: