1. Функция многих переменных: определение, геометрический смысл, область определения, область значений, линия уровня, поверхность уровня.

Функция многих переменных. U=f(x,y,z…t) называется функцией многих переменных, если каждой совокупностью значений x,y,z..t ∈ D соответствует одно вполне определенное значение U∈ V. D∈ R^x D∈ R^x+1

Функцией двух переменных называется закон, по которому каждой паре значений независимых переменных x,y (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной z (функции).

z=f(x,y) называется функцией двух пременных, если каждой паре значений x,y∈ D соответствует одно вполне определенное значение z∈ V

Геометрический смысл функции 2-х переменных 

График функции двух переменных z=f(x,y)  располагается в трёхмерном пространстве. На практике чаще всего приходится иметь дело споверхностью, но иногда график функции может представлять собой, например, пространственную прямую (ые) либо даже единственную точку.

Областью определения функции двух переменных z=f(x,y) называется множествовсех пар (x;y), для которых существует значение z.

Графически область определения представляет собой всю плоскость  либо её часть. Так, областью определения функции  является вся координатная плоскость  – по той причине, что для любой точки (x;y) существует значение z.

Область значений. Областью значений функции z=f(x,y) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех пар (x;y) из области определения x,y∈ D

Линия уровня и поверхность уровня. Уровнем (c-уровнем, c ∈ R) функции u = f(x), x ∈ M ⊂ Rⁿ называют множество точек x ∈ M таких, что f(x) = c. В случае n = 2 уровни функции называют линиями уровня; при n = 3 – поверхностями уровня.

Линией уровня функции z=f(x,y) называется линия f(x,y)=C на плоскости XOY, в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение: z=C=const. Таких линий может существовать бесконечное множество в пределах области значений, определяемой формулой.

Поверхностью уровня функции u=f(x,y,z) называется множество точек пространства, в которых функция принимает одно и тоже значение С, т.е поверхность уровня определяется уравнением f(x,y,z)=С

2. Частные приращения функции двух аргументов, частные производные первого порядка, частные производные высших порядков

Частным приращением функции называется такое ее приращение, при котором изменяется только одна из всех переменных.

Приращение по х (2), приращение по у(3)

Частные производные первого порядка. Если существует конечный предел отношения частного приращения по x функции f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀) к вызвавшему его приращению Δx при Δx ⇾0, то этот предел называется частной производной по х функции z=f(x,y) в точке М₀

Частные производные высших порядков. Частные производные функции нескольких переменных являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка исходной функции.

Так, например, функция z = f(x, y) двух переменных имеет четыре частные производные второго порядка

Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка. Функция имеет восемь частных производных третьего порядка. Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по нескольким разным переменным, называется смешанной частной производной.