Вопрос 9.
Производные элементарных функций. См. таблицу в тетради.
Вопрос 10.
Основные правила дифференцирования. См. таблицу в тетради.
Вопрос 11.
Дифференциал функции.
Дифференциалом функции y=f(x) в точке х0, соответствующим приращению аргумента ΔХ, называется выражение f `(x)* Δx.
Обозначение. df(x)= f `(x)* Δx.
Производные и дифференциалы высших порядков.
y=f(x)
y `=f `(x)
y ``=(y `)`=(f `(x)) `
производная n-ого порядка y(n)=(y(n-1))
Дифференциал n-ого порядка
dnf(x)=f(n)(x)*(dx)n
Правило Лопиталя.
Пусть
функции f(x)
и g(x)
обе являются бесконечно малыми при Х→Х0
или
обе являются бесконечно большими при
при Х→Х0.
Тогда
Вопрос 12.
Возрастание и убывание функции.
Если f’(x) > 0 для любого x принадлежащего (a;b), то функция y=f(x) возрастает на этом интервале, если f’(x) < 0, то убывает.
Исследование функций с помощью производных.
Функция y=f(x), определенная на (a;b) называется возрастающей на этом интервале, если доя любых точек х1 и х2 из этого интервала таких, что х1<x2, выполнено неравенство f(x1)<f(x2). (т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции)
Для убывающей наоборот.
Вопрос 13.Большее значение функции) рвале, если доя любых точек х
Экстремум функции.
Точка х=х0 называется точкой локального максимума (минимума), если существует интервал (a; b), содержащий точку х0 и такой, что для любого х из этого интервала выполнено неравенство f(x)≤f(x0) (f(x)≥f(x0))
Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума.
Необходимое условие локального экстремума.
Если х=х0 – точка локального экстремума функции y=f(x) и в ней существует производная этой функции, то эта производная равна 0, т.е. f’(x0)=0 (также эта точка называется стационарной точкой).
Достаточное условие локального экстремума.
Условие 1) Если х=х0 – стационарная точка функции y=f(x), т.е. f’(x0)=0 и при переходе через эту точку f’(x) меняет знак с «-» на «+» или наоборот, то х=х0 – точка локального минимума.
Условие 2) Если х=х0 – стационарная точка функции y=f(x), т.е. f’(x0) = 0 и f”(x0) <0 и f``(x0)<0 (f ``(x0)>0), то х=х0 - точка локального максимума (минимума)
Вопрос 14.
Выпуклость графика функции.
График функции y=f(x) называется выпуклым вверх/вниз на (a; b), если он лежит не выше любой касательной, проведенной к графику в произвольной точке (x; f(x)), где х входит в этот интервал.
Исследование направления выпуклости с помощью второй производной.
Если для любого х принадлежащего (a; b) имеет место неравенство f’’(x)>0 (f”(x)<0), то график функции y=f(x) является выпуклым вниз (вверх) на (a; b).
Точки перегиба.
Точка х=х0 называется точкой перегиба графика y=f(x), если при переходе через эту точку графика меняет направление выпуклости.
Утверждение. Если f ``(x0) и при переходе через точку х=х0 f ``(x) меняет знак, то точка х=х0 является точкой перегиба.
Вопрос 15.
Асимптоты.
Асимптота графика функции y=f(x) при х→х0 – это прямая, к которой неограниченно приближается график функции, когда х→х0.
При х→∞ получаем горизонтальную или наклонную асимптоту.
При х→х0, где х0 конечное число, получаем вертикальную асимптоту.
Общая схема исследования функции.
1) D(y) – область определения и E(y) – область значений
2) Четность/нечетность/периодичность
y(-x) = y(x) – чет.
y(-x) = -y(x) – нечет.
3) Пересечение с осью Х и осью Y
4) Точки разрыва
5) Промежутки знака постоянства функции
6) Промежутки возрастания/убывания, точки локального экстремума
7) Промежутки выпуклости графика вверх/вниз, точки перегиба
8) Асимптоты графика
9) Построение графика функции