- •11.Базис пространства : Разложение вектора по произвольному базису.
- •12. Различные виды уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми.
- •Векторное параметрическое уравнение прямой
- •]Параметрические уравнения прямой
- •Каноническое уравнение прямой
- •13. Прямая и плоскость в пространстве.
- •14.Основная задача линейного программирования. Геометрический метод решения задачи лп с двумя переменными.
- •15.Основные понятия теории вероятностей. Операции над событиями.
- •Операции над событиями.
- •Классическая вероятностная схема
11.Базис пространства : Разложение вектора по произвольному базису.
Базисом в пространстве называется любая система из n- линейно независимых векторов. Каждый вектор из , не входящих в базис, можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е разложить по базису.
Пусть B={ , , , ,… }- базис пространства . Тогда найдутся такие числа , что
B=
Коэффициенты разложения , называются координатами вектора b в базисе. Если задан бвзис, то коэффициенты вектора определяются однозначно
12. Различные виды уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми.
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 не равно 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат
• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу
• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох
Для решение задач уравнений используют специальный вид уравнения прямой.
Векторное параметрическое уравнение прямой
Векторное параметрическое уравнение прямой задается вектором конец которого лежит на прямой, и направляющим вектором прямой Параметр пробегает все действительные значения.
]Параметрические уравнения прямой
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:
где — производный параметр, — координаты и направляющего вектора прямой. При этом
Каноническое уравнение прямой
Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:
где — координаты и направляющего вектора прямой, и координаты точки, принадлежащей прямой.
Угол межу прямыми:
Пусть прямые и заданы каноническими уравнениями и Очевидно, угол между прямыми равен углу между направляющими векторами этих прямых: Тогда
|
|
Если то
Если , то или .
13. Прямая и плоскость в пространстве.
1. Условия параллельности и перпендикулярности.
Пусть заданы прямая:
И плоскость: Ах + Ву + С = 0
Прямая параллельная плоскости в том и только в том случае, когда ее направляющий вектор a={l; m; n} перпендикулярен нормальному вектору N= { A; B; C} плоскости. Отсюда получаем условие параллельности прямой и плоскости: Al+Bm+Cn=0
Прямая перпендикулярна плоскости в том и только в случае, когда ее направляющий вектор коллинеарен нормальному вектору плоскости. Отсюда получаем условие перпендикулярности прямой и плоскости:
2.Угол между прямой и плоскостью:
14.Основная задача линейного программирования. Геометрический метод решения задачи лп с двумя переменными.
Основная задача линейного программирования состоит в следующем. Задана система (6.10) m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x1,...,xn и линейная форма относительно этих же неизвестных: F = c1x1 + ... + cnxn. (6.11) Требуется среди всех неотрицательных решений системы (10) выбрать такое, при котором форма F принимает наименьшее значение (минимизируется). Определение: Система (6.10) называется системой ограничений данной задачи. Сами равенства (6.10) называются ограничениями-равенствами. Отметим, что кроме ограничений-равенств в основу задач входят также ограничения-неравенства x1≥0,...,xn≥0 Определение: Всякое неотрицательное решение x1(0),...,xn(0)(xi(0)≥0; i=1,...,n) системы (6.10) назовем допустимым. Допустимое решение часто называют планом задачи линейного программирования. Определение: Допустимое решение системы (6.10), минимизирующее форму F, назовем оптимальным.
Геометрический метод решения задачи ЛП с двумя переменными.
(8)
является полуплоскость. Для того, чтобы определить, какая из двух полуплоскостей соответствует этому неравенству, нужно привести его к виду или . Тогда искомая полуплоскость в первом случае расположена выше прямой a0 + a1x1 + a2x2 = 0, а во втором - ниже нее. Если a2=0, то неравенство (8) имеет вид ; в этом случае получим либо - правую полуплоскость, либо - левую полуплоскость.
Областью решений системы неравенств является пересечение конечного числа полуплоскостей, описываемых каждым отдельным неравенством. Это пересечение представляет собой многоугольную область G. Она может быть как ограниченной, так и неограниченной и даже пустой (если система неравенств противоречива).
Область решений G обладает важным свойством выпуклости. Область называется выпуклой, если произвольные две ее точки можно соединить отрезком, целиком принадлежащим данной области. На рис. показаны выпуклая область G1 и невыпуклая область G2. В области G1 две ее произвольные точки А1 и В1 можно соединить отрезком, все точки которого принадлежат области G1. В области G2 можно выбрать такие две ее точки А2 и В2, что не все точки отрезка А2В2принадлежат области G2.
Опорной прямой называется прямая, которая имеет с областью по крайней мере одну общую точку, при этом вся область расположена по одну сторону от этой прямой. На рис. показаны две опорные прямые l1 и l2, т. е. в данном случае прямые проходят соответственно через вершину многоугольника и через одну из его сторон.