Вопрос 16.
Понятие функции нескольких переменных.
Пусть X,Y,Z – некоторые числовые множества.
Функцией двух переменных называется множество f упорядоченных троек чисел (x,y,z) таких, что х принадлежит Х, у принадлежит Y, z принадлежит Z и каждая упорядоченная пара чисел (x,y) входит в одну и только одну тройку этого множества, а каждое z входит, по крайней мере, в одну тройку.
Область определения функции Z=f(x;y) – это множество всех тех точек на плоскости, в которых определено значение функции f(x;y)
f(x;y) – уравнение линии уровня
Линии уровня.
Линия уровня - это геометрическое место точек на плоскости, в которых функция принимает постоянное значение.
Назовем линией уровня функции z=f(x,y) множество точек (x,y) плоскости Oxy, в которых функция принимает одно и то же значение c.
Предел и непрерывность функции двух переменных.
Возьмем последовательность точек М1(х1;у1), М2(х2;у2),…, Мn(хn;уn) такую, что для любого n Mn≠ M0 и р(М0;Мn)→0 при n→∞. Тогда можно рассмотреть последовательность f(M1), f(M2),…,f(Mn)
Если числовая последовательность f(M1), f(M2),…,f(Mn) имеет предел, равный всегда одному и тому же числу А(независимо от того, какая конкретно последовательность точек взята), то число А называют пределом функции Z=f(x;y) в точке M0(x0;y0)
Функция Z=f(x;y) называется непрерывной в точке (x0;y0), если она определена в некоторой δ-окрестности этой точки, и существует предел функции f(x;y) в этой точке и он равен значению функции в этой точке.
Вопрос 17.
Частные производные первого и второго порядка функции двух переменных.
Смотреть в тетради
Градиент и его свойства.
Градиентом функции f(x;y) (grad f(x,y)) называется вектор, координаты которого являются частные производные функции f(x;y)
Свойства.
Вектор градиента в точке (x0;y0) из области определения функции перпендикулярен линии уровня этой функции, проходящей через точку (x0;y0).
Градиент – это направление наибыстрейшего возрастания функции.
Вопрос 18
Локальный экстремум функции двух переменных.
Точка (x0;y0) называется точкой локального максимума (минимума) функции Z=f(x;y), если существует δ-окрестность точки (x0;y0) такая, что для любой точки (х;у) из этой окрестности выполнено неравенство:
F(x,y)≤f(x0,y0)
(f(x,y)≥f(x0,y0))
Необходимое условие экстремума
Если точка (x0;y0) точка локального максимума функции Z=Z(x;y) и в этой точке существуют частные производные этой функции, то они равны 0:
Z`x(x0;y0)=0, Z`y(x0;y0)=0
Достаточные условия локального экстремума.
Пусть Z`x(x0;y0)=0 и Z`y(x0;y0)=0. Обозначим А=Z``xx(x0;y0), B=Z``xy(x0;y0), C=Z``yy(x0;y0), Δ=AC-B2.
Если Δ<0, то точка (x0;y0) не является точкой локального экстремума. Если Δ>0, то эта точка является точкой локального экстремума. Причем если Δ>0 и А>0, то (x0;y0) – точка локального минимума, если же Δ>0, а А<0, то (x0;y0) – точка локального максимума.
Вопрос 19.
Первообразная.
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на промежутке (а,b), если для любого х принадлежащего (a,b) выполняется неравенство: F’(x)=f(x).
Теорема о множестве первообразных данной функции.
Утверждение 1.
Если F(x) – первообразная функции f(x), то любая функция F(x) + C, где С – произвольная константа, тоже является первообразной функции f(x).
Доказательство. Дано, что F(x) – первообразная функции f(x), то F`(x)=f(x). Найдем (F(x)+C)`=F`(x) + C`=f(x). Так как (F(x)+C)`=f(x) то F(x) + C – первообразная функции f(x).
Утверждение 2.
Если F1(x) и F2(x) – две различные первообразные одной и той же функции f(x), то существует такое число С, что F2(x)=F1(x)+C
Из утверждений следует, что множество всех первообразных одной функции f(x) можно задать формулой: F(x) + C, где F(x) – какая-нибудь первообразная функции f(x), а С принимает все действительные значения.
Понятие неопределенного интеграла.
Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом функции.
