24. Первый замечательный предел.

.

Разделив обе части последнего неравенства на , получим:

или .

Эти неравенства справедливы, как при , так и при (т.к. функция четная). В силу того, что (это видно из рисунка), по лемме о промежуточной функции, функция имеет тот же предел при , т.е.

.

25. Второй замечательный предел.

Предел (5) называют вторым замечательным пределом.

26. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций. Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если функция определена в точке и в некоторой окрестности, содержащей эту точку, функция имеет предел при и этот предел равен значению функции в точке : В этом случае точка называется точкой непрерывности функции.

Теорема 1. Если функции и непрерывны в точке , то функции , , и

непрерывны в точке .Доказательство:

1) ;2) ;

3) .Теорема 2. Все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях , для которых они определены. Теорема 3. (Непрерывность сложной функции) Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

27. Точки разрывов, их классификация.

Определение 4. Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, или точки, в которых функция не определена, но в любой окрестности которых имеются точки области определения функции, называются точками разрыва. Определение 5. Точка разрыва функции называется точкой устранимого разрыва, если существует предел функции в точке : , но . Определение 6. Точка разрыва функции называется точкой разрыва 1-го рода, если существуют предел слева в точке и предел справа , но они не равны, т.е. .Определение 7. Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва 1-го рода, называется точкой разрыва 2-го рода.В точках разрыва второго рода не существует хотя бы один из односторонних пределов.

28. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.

Определение 8. Функции называется непрерывной на сегменте (отрезке) , если она непрерывна во всех внутренних точках этого сегмента, непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке .Теорема 4. (Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте , то она ограничена и достигает своего наибольшего и наименьшего значения.Теорема 5. (Больцано-Коши) Если функция непрерывна на сегменте и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри этого сегмента найдется, по крайней мере, одна точка , в которой функция равна нулю.Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: если точки графика функции , соответствующие концам сегмента , лежат по разные стороны от оси OX, то этот график хотя бы в одной точке сегмента пересекает ось OX.Теорема 6. (О промежуточном значении функции) Если функция непрерывна на сегменте и , , то для любого , заключенного между и , найдется внутри сегмента такая точка , что . Теорема 7. (О существовании обратной функции) Если функция непрерывна на сегменте и возрастает (убывает) на этом сегменте, то обратная функция на соответствующем сегменте оси OY существует и является также возрастающей (убывающей) функцией.