35. Дифференцирование функций, заданных в параметрической форме. Неявная функция и ее производная.

Теорема 1. Пусть функция задана параметрически уравнениями вида:

,где и – дифференцируемые функции параметра . Тогда . Если функция задана неявно уравнением вида: , то для нахождения производной такой функции, проще всего продифференцировать тождество и, убедившись, что производная входит в получившееся выражение линейно, найти значение .

36. Дифференциал функции, его свойства и геометрический смысл. Производные высших порядков.

Определение 2. Дифференциалом функции в точке называется главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной. Дифференциал функции обозначается или .

. Теорема 2. Для того, чтобы функция имела бы в некоторой точке дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная.

Определение 3. Дифференциал функции в точке есть произведение производной на дифференциал независимой переменной.Из формулы (8) следует, что , т.е. производная функции в точке равна отношению дифференциала функции в этой точке к дифференциалу независимой переменной.

Пусть – абсцисса точки M на графике некоторой функции . Дадим приращение . N – точка с абсциссой . Через точку M проведем касательную MP. Очевидно, что , , . Тогда из имеем: .Таким образом, дифференциал функции в данной точке равен приращению ординаты касательной к графику функции, проведенной в данной точке при переходе от точки с абсциссой к точке с абсциссой .7. Свойства дифференциала. 1) ;2) ;3) ;4) ;5) .

37. Теорема Ферма и теорема Ролля.

Теорема Ферма. Пусть функция определена на некотором интервале и дифференцируема в точке . Тогда, если является точкой локального минимума или максимума функции , то .