- •С. Г. Иванов основы функционирования систем сервиса Теоретическая механика
- •Предисловие
- •Основные понятия и исходные положения статики
- •1.1. Основные понятия статики
- •1.2. Аксиомы статики
- •1.3. Виды сил
- •1.4. Связи и их реакции
- •2. Сложение сил. Система сходящихся сил
- •2.1. Геометрический способ сложения сил.
- •2.2. Разложение сил
- •2.3. Проекция силы на ось и на плоскость
- •2.4. Аналитический способ задания сил
- •2.5. Аналитический способ сложения сил
- •2.6. Равновесие системы сходящихся сил
- •2.7. Статически определимые и неопределимые системы
- •2.8. Момент силы относительно центра (или точки)
- •2.9. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
- •2.10. Сложение и разложение параллельных сил, расположенных
- •3. Произвольная плоская системы сил
- •3.1. Теорема о параллельном переносе сил
- •3.2. Приведение произвольной системы сил к данному центру
- •3.3. Условия равновесия плоской системы сил
- •3.4. Условия равновесия плоской системы параллельных сил
- •3.5. Равновесие системы тел
- •3.6. Распределённые силы
- •4. Трение
- •4.1. Трение скольжения
- •4.2. Трение качения
- •5. Системы пар и сил в пространстве
- •5.1. Момент пары сил. Момент силы относительно оси
- •5.2. Сложение сил, произвольно расположенных в пространстве. Условия равновесия
- •6. Силы тяжести. Центр тяжести
- •6.1. Центр параллельных сил
- •6.2. Центр тяжести твёрдого тела
- •7. Кинематика точки и твёрдого тела
- •7.1. Введение в кинематику. Способы задания движения точки
- •7.2. Кинематика точки
- •7.2.1. Естественный способ
- •7.2.2. Координатный способ
- •7.2.3. Переход от координатного способа задания движения
- •7.3. Скорость точки
- •7 .3.1. Естественный способ задания движения
- •7.3.2. Координатный способ задания движения
- •7.4. Ускорение точки
- •7.4.1. Естественный способ задания движения
- •7.4.2. Координатный способ задания движения
- •8. Поступательное и вращательное движения твёрдого тела
- •8.1. Поступательное движение твёрдого тела
- •8.2. Вращательное движение твёрдого тела вокруг оси
- •8.2.1. Равномерное и равнопеременное вращение
- •8.2.2. Скорости и ускорения точек вращающегося тела
- •9. Плоскопараллельное движение твёрдого тела
- •9.1. Уравнение плоскопараллельного движения.
- •9.2. Определение траекторий точек тела
- •9.3. Определение скоростей точек тела
- •9.4. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела
- •9.5. Определение скоростей точек тела
- •9.6. План скоростей
- •9.7. Определение ускорений точек тела
- •10. Введение в динамику. Законы динамики. Уравнение движения
- •10.1. Основные понятия и определения
- •10.2. Законы динамики
- •10.3. Система единиц
- •10.4. Задачи динамики
- •10.5. Дифференциальное уравнение движения точки
- •11. Общие теоремы динамики точки
- •11.1. Количество движения и кинетическая энергия точки
- •11.2. Импульс силы
- •11.3. Теорема об изменении количества движения точки
- •11.4. Работа силы. Мощность
- •11.5. Теорема об изменении кинетической энергии точки
- •12. Прямолинейные колебания точки
- •12.1. Свободные колебания без учёта сил сопротивления
- •12.2. Вынужденные колебания. Резонанс
- •13. Динамика систем
- •13.1. Механическая система
- •13.2. Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции
- •13.3. Принцип Даламбера
- •Библиографический список
- •Словарь терминов и определений
- •Алфавитно-предметный указатель
- •Сергей Гаврилович Иванов основы функционирования систем сервиса
- •644099, Омск, ул. Красногвардейская, 9
8.2.1. Равномерное и равнопеременное вращение
Если угловая скорость постоянна (ω = const), то вращение называется равномерным, при этом угловое перемещение тела
или . (8.5)
В технике скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n, об/мин.
Существует зависимость между n и ω. При одном обороте тело поворачивается на угол 2π, а при n оборотах − на 2πn; этот поворот делается за t = 1мин = 60 с. Из равенства (8.5) следует, что
. (8.6)
Если угловое ускорение тела постоянно (ε = const), то вращение называется равнопеременным. Найдём закон равнопеременного вращения, считая, что в начальный момент времени t0 = 0 угол φ0 = 0, а угловая скорость ω = ω0 (ω0 – начальная угловая скорость).
Из формулы (8.4) имеем dω = εdt. Интегрируя левую часть от ω0 до ω, а правую часть – в пределах от 0 до t, найдём:
. (8.7)
Представим данное выражение в виде
или .
Вторично интегрируя, найдём закон равномерного вращения:
. (8.8)
Угловая скорость этого вращения определяется формулой (8.7). Если величины ω и ε имеют одинаковые знаки, то вращение будет равноускоренным, а если разные – равнозамедленным.
8.2.2. Скорости и ускорения точек вращающегося тела
Рассмотрим какую-нибудь точку М твёрдого тела, находящуюся на расстоянии ρ от оси вращения Az (см. рис. 8.2). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса ρ, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения, а центр С лежит на самой оси. За время dt произойдёт элементарный поворот тела на угол dφ, а точка М совершит вдоль своей траектории элементарное перемещение . Тогда скорость точки будет равна
. (8.9)
Скорость v в отличие от угловой скорости тела называют линейной или окружной скоростью точки М.
Т аким образом, линейная скорость точки вращающегося твёрдого тела численно равна произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения.
Направлена линейная скорость по касательной к описываемой точкой М окружности или перпендикулярно к плоскости II, проходящей через ось вращения и точку М.
Т ак как для всех точек тела угловая скорость ω имеет в данный момент одно и то же значение, то из формулы (8.9) следует, что линейные скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям ρ от оси вращения (рис. 8.4).
Для определения ускорения точки М воспользуемся формулами:
, .
Подставляя значение v из равенства (8.9), получим
. (8.10)
Касательное (тангенциальное) ускорение направлено по касательной к траектории (в сторону движения, если тело вращается ускоренно, или в обратную сторону, если тело вращается замедленно); нормальное ускорение всегда направлено по радиусу ρ к оси вращения (рис. 8.4).
Полное ускорение точки М равно
. (8.11)
Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом μ, который находят по формуле
. (8.12)
Из формул (8.11) и (8.12) следует, что ускорения всех точек вращающегося твёрдого тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол μ с радиусами описываемых ими окружностей.
Формулы (8.9)…(8.12) позволяют определять скорость и ускорение любой точки тела, если известен закон вращения тела и расстояние данной точки от оси вращения.
Простейшими движениями твёрдого тела являются поступательное и вращательное движения.
Изучение поступательного движения точки сводится к задаче кинематики точки.
Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твёрдого тела являются его угловая скорость и угловое ускорение. Вращение твёрдого тела может быть равномерным и равнопеременным, равноускоренным и равнозамедленным.
Линейные скорости и ускорения всех точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения. Линейные скорости образуют прямой угол с радиусом описываемой окружности, а ускорения − некоторый угол, определяемый формулой (8.12).
Задачи для самостоятельного решения
З адача № 8.1. (Рис. 8.5). При вращении кривошипа OA = О1В = 0,16 м угол φ изменяется по закону φ = π t. Определить радиус r кривизны траектории точки D полукруга ABD при t = 2 с, если АВ = 0,25 м.
(Ответ: r = 0,16 м).
Задача № 8.2. (Рис. 8.5). При вращении кривошипа OA = О1В = 0,10 м угол φ изменяется по закону φ = 2π t. Определить скорость vD точки D полукруга ABD при t = 2 с, если АВ = 0,25 м. (Ответ: vD = 0,63 м/с).
Задача № 8.3. (Рис. 8.5). При вращении кривошипа OA = О1В = 0,10 м угол φ изменяется по закону φ = 4π t. Определить ускорение аD точки D полукруга ABD при t = 2 с, если АВ = 0,25 м. (Ответ: аD = 15,8 м/с2).
Задача № 8.4. (Рис. 8.6). Квадратная пластина ABCD совершает поступательное движение в плоскости Оху. Определить ускорение аС точки С, если известно, что нормальное ускорение точки А, а касательное ускорение точки В . (Ответ: ас = 5 м/с2).
Задача № 8.5. При равномерном вращении маховик делает 4 оборота в секунду. За сколько секунд маховик повернется на угол φ = 24 π? (Ответ: 3 с).
Задача № 8.6. Угловая скорость тела изменяется согласно закону ω = -8t. Определить угол φ поворота тела в момент времени t = 3 с, если при t0 = 0 угол поворота φ0 = 5 рад. (Ответ: φ = -31 рад.).
Задача № 8.7. Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно закону
φ = t3 + 2. Определить угловую скорость ω тела в момент времени, когда угол поворота φ = 10 рад. (Ответ: ω = 12 с-1).
Задача № 8.8. Частота вращения маховика за время t1 = 10 с уменьшилась в 3 раза и стала равной 30 об/мин. Определить угловое ускорение ε вала, если он вращался равнозамедленно. (Ответ: ε = - 0,628 с-2).
Задача № 8.9. Угловое ускорение тела изменяется согласно закону ε = 2t. Определить угловую скорость ω тела в момент времени t = 4 с, если при t0 = 0 угловая скорость равна нулю. (Ответ: ω = 16 с-1).
Задача № 8.10. Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно закону
φ = 2t2. Определить нормальное ускорение точки тела на расстоянии r = 0,2 м от оси вращения в момент времени t= 2 с. (Ответ: = 12,8 м/с2).
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте теорему, определяющую свойства поступательного движения.
2. Что называют вращательным движением твёрдого тела вокруг неподвижной оси?
3. Ось вращения, угол поворота и закон вращательного движения твёрдого тела.
4. Угловая скорость и угловое ускорение при вращательном движении твёрдого тела.
5. Равномерное и равнопеременное вращение. Угловое перемещение.
6. Чему равна линейная скорость точки вращающегося тела?
7. Скорости и ускорения точек вращающегося тела. Окружная скорость.
8. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения точки вращающегося тела.