- •С. Г. Иванов основы функционирования систем сервиса Теоретическая механика
- •Предисловие
- •Основные понятия и исходные положения статики
- •1.1. Основные понятия статики
- •1.2. Аксиомы статики
- •1.3. Виды сил
- •1.4. Связи и их реакции
- •2. Сложение сил. Система сходящихся сил
- •2.1. Геометрический способ сложения сил.
- •2.2. Разложение сил
- •2.3. Проекция силы на ось и на плоскость
- •2.4. Аналитический способ задания сил
- •2.5. Аналитический способ сложения сил
- •2.6. Равновесие системы сходящихся сил
- •2.7. Статически определимые и неопределимые системы
- •2.8. Момент силы относительно центра (или точки)
- •2.9. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
- •2.10. Сложение и разложение параллельных сил, расположенных
- •3. Произвольная плоская системы сил
- •3.1. Теорема о параллельном переносе сил
- •3.2. Приведение произвольной системы сил к данному центру
- •3.3. Условия равновесия плоской системы сил
- •3.4. Условия равновесия плоской системы параллельных сил
- •3.5. Равновесие системы тел
- •3.6. Распределённые силы
- •4. Трение
- •4.1. Трение скольжения
- •4.2. Трение качения
- •5. Системы пар и сил в пространстве
- •5.1. Момент пары сил. Момент силы относительно оси
- •5.2. Сложение сил, произвольно расположенных в пространстве. Условия равновесия
- •6. Силы тяжести. Центр тяжести
- •6.1. Центр параллельных сил
- •6.2. Центр тяжести твёрдого тела
- •7. Кинематика точки и твёрдого тела
- •7.1. Введение в кинематику. Способы задания движения точки
- •7.2. Кинематика точки
- •7.2.1. Естественный способ
- •7.2.2. Координатный способ
- •7.2.3. Переход от координатного способа задания движения
- •7.3. Скорость точки
- •7 .3.1. Естественный способ задания движения
- •7.3.2. Координатный способ задания движения
- •7.4. Ускорение точки
- •7.4.1. Естественный способ задания движения
- •7.4.2. Координатный способ задания движения
- •8. Поступательное и вращательное движения твёрдого тела
- •8.1. Поступательное движение твёрдого тела
- •8.2. Вращательное движение твёрдого тела вокруг оси
- •8.2.1. Равномерное и равнопеременное вращение
- •8.2.2. Скорости и ускорения точек вращающегося тела
- •9. Плоскопараллельное движение твёрдого тела
- •9.1. Уравнение плоскопараллельного движения.
- •9.2. Определение траекторий точек тела
- •9.3. Определение скоростей точек тела
- •9.4. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела
- •9.5. Определение скоростей точек тела
- •9.6. План скоростей
- •9.7. Определение ускорений точек тела
- •10. Введение в динамику. Законы динамики. Уравнение движения
- •10.1. Основные понятия и определения
- •10.2. Законы динамики
- •10.3. Система единиц
- •10.4. Задачи динамики
- •10.5. Дифференциальное уравнение движения точки
- •11. Общие теоремы динамики точки
- •11.1. Количество движения и кинетическая энергия точки
- •11.2. Импульс силы
- •11.3. Теорема об изменении количества движения точки
- •11.4. Работа силы. Мощность
- •11.5. Теорема об изменении кинетической энергии точки
- •12. Прямолинейные колебания точки
- •12.1. Свободные колебания без учёта сил сопротивления
- •12.2. Вынужденные колебания. Резонанс
- •13. Динамика систем
- •13.1. Механическая система
- •13.2. Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции
- •13.3. Принцип Даламбера
- •Библиографический список
- •Словарь терминов и определений
- •Алфавитно-предметный указатель
- •Сергей Гаврилович Иванов основы функционирования систем сервиса
- •644099, Омск, ул. Красногвардейская, 9
9.2. Определение траекторий точек тела
Рассмотрим точку М тела, положение которой в сечении (S) определяется расстоянием b = AM от полюса А и углом ВАМ = α (рис. 9.4). Если движение тела задано уравнениями (9.1), то координаты x и y точки М в осях Oxy будут:
, (9.2)
где xA, yA и φ – известные по уравнениям (10.1) функции времени.
Уравнения (9.2.), определяющие закон движения точки M в плоскости Oxy, дают одновременно уравнение траектории этой точки в параметрическом виде. Обычное уравнение траектории получим, исключив из системы (9.2) время t.
9.3. Определение скоростей точек тела
Положение любой точки М, лежащей в сечении (S) тела, определяется по отношению к осям Oxy радиус-вектором (рис. 9.5):
,
где – радиус-вектор полюса А;
– вектор, определяющий положение точки М относительно осей , перемещающихся вместе с полюсом А поступательно (движение сечения (S) по отношению к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса А). Тогда
.
В полученном равенстве величина есть скорость полюса А; а − скорость , которую точка М получает при вращении тела вокруг полюса А. В итоге получаем
, (9.3)
где
(9.4)
здесь ω – угловая скорость вращения тела.
Таким образом, скорость любой точки М тела геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости точки М в её вращении вместе с телом вокруг этого полюса.
Модуль и направление скорости находится построением соответствующего параллелограмма (рис. 9.6).
9.4. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела
Э та теорема позволяет получить более простой и удобный метод определения скоростей точек тела.
Согласно теореме проекции скоростей двух точек твёрдого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны.
Рассмотрим какие-нибудь две точки тела А и В (рис.9.7). Принимая точку А за полюс, получаем по формуле (9.3), что
. (9.5)
Проектируя обе части равенства на линию АВ и учитывая, что вектор перпендикулярен к АВ, находим:
,
что и требовалось доказать.
Эта теорема позволяет легко находить скорость данной точки тела, если известны направление движения этой точки и скорость какой-нибудь другой точки того же тела.
9.5. Определение скоростей точек тела
с помощью мгновенного центра скоростей
Д ругой простой и наглядный метод определения скоростей точек тела при плоскопараллельном движении основан на понятии о мгновенном центре скоростей.
Мгновенным центром скоростей называется точка Р тела, скорость которой в данный момент времени равна нулю.
Если тело движется непоступательно, то такая точка в каждый момент времени t существует и притом единственная.
Пусть в момент времени t точки А и В тела, лежащие в сечении S, имеют скорости и , не параллельные друг другу (рис. 9.8). Тогда точка Р, лежащая на пересечении перпендикуляров Аа к вектору и Вв к вектору , и будет мгновенным центром скоростей, т. к. .
Если допустить, что , то (по теореме о проекциях скоростей точек тела), вектор должен быть одновременно перпендикулярен к АР (так как ) и к ВР (так как ), что невозможно.
Если в момент времени t взять точку Р за полюс, то по формуле (10.3) скорость точки А будет равна
,
так как . Аналогичный результат получается для любой другой точки тела.
Следовательно, скорость любой точки тела, лежащей в сечении S, равна её вращательной скорости вокруг мгновенного центра скоростей Р:
и т. д. (9.6)
Из равенства (9.6) следует также, что
(9.7)
т. е., что скорости точек тела пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей.
Полученные результаты приводят к следующим выводам:
1. Для определения мгновенного центра скоростей надо знать только направления скоростей и каких-нибудь двух точек А и В сечения тела; мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных из точек А и В к скоростям этих точек.
2. Для определения скорости любой точки тела надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А тела и направление скорости другой его точки В. Тогда восстановив из точек А и В перпендикуляры к и , мы определим мгновенный центр скорости Р и по направлению определим направление поворота тела. После этого, зная , найдём по формуле (9.7) скорость любой точки М тела. Вектор направлен перпендикулярно к РМ в сторону поворота тела.
3. Угловая скорость тела, как видно из формул (9.6), равна в каждый момент времени отношению скорости какой-нибудь точки сечения S к её расстоянию от мгновенного центра Р:
. (9.8)
Р ассмотрим некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей:
1 . Если плоскопараллельное движение осуществляется путём качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого, причём второе тело неподвижно, то точка касания Р (для сечения, изображённого на (рис. 9.9) имеет в данный момент времени скорость, равную нулю, и, следовательно, является мгновенным центром скоростей , так как точки касания обоих тел при отсутствии скольжения должны иметь одинаковые скорости (второе тело неподвижно).
Примером служит качение колеса по рельсу.
2. Если скорости точек А и В тела параллельны друг другу, при этом линия АВ не перпендикулярна к (рис. 9.10), то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек параллельны .
П ри этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что , т. е. = ; аналогичный результат получается для всех других точек тела. Следовательно, в рассматриваемом случае скорости всех точек тела в данный момент времени равны друг другу и по модулю, и по направлению, т. е. тело имеет мгновенное поступательное распределение скоростей (такое состояние движения тела называют мгновенным поступательным). Угловая скорость ω тела в этот момент времени равна нулю.
3. Если скорости точек А и В тела параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна к , то мгновенный центр скоростей Р определяется построениями, показанными на рис. 9.11. В этом случае необходимо знать направления и модули скоростей и .
4. Если известен вектор скорости какой-нибудь точки сечения S и угловая скорость ω, то положение мгновенного центра скоростей Р, лежащего на перпендикуляре к (см. рис. 9.8), можно найти из равенства (9.8), которое даёт .