- •2.Визначення ймовірності (класичне, статичне). Види подій. Дії з випадковими подіями.
- •Вероятность достоверного события равна 1
- •Вероятность невозможного события равна 0.
- •3. Теореми множення, додавання ймовірностей. Формула повної ймовірності подій. Ймовірність гіпотез (формула Бейєса).
- •4.Ймовірність гіпотез. Повторення випробувань. Теорема Бернуллі.
- •5. Дискретні випадкові величини. Розуміння про закон та функції розподілу ймовірностей дискретних випадкових величин.
- •26.Методи розрахунку збірних характеристик вибірки. Умовні варіанти.
- •6.Числові характеристики дискретних випадкових величин. Математичне сподівання, властивості математичного сподівання.
- •Среднее квадратное отклонение
- •7.Дисперсія, властивості дисперсії. Знаходження дисперсії.
- •8.Дисперсія дискретної випадкової величини. Вивід властивості дисперсії про дисперсії різниці.
- •12.Вивід розрахункових формул центральних моментів через початкові.
- •9.Числові характеристики дискретної випадкової величини. Виведеня розрахункової формули дисперсії.
- •Среднее квадратное отклонение
- •15.Числові характеристики непреривної випадкової величини.
- •10.Числові характеристики дискретної випадкової величини. Виведення властивості про винесення постійного множника за знак дисперсії.
- •Среднее квадратное отклонение
- •11.Числові характеристики дискретної випадкової величини. Визначення початкового та центрального моментів.
- •Среднее квадратное отклонение
- •13.Неперервні випадкові величини. Функція розподілу, її властивості.
- •Значение ф-и распределения принадлежат отрезку [0;1].
- •F(X) – неубывающая ф-я.
- •Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а,в) равна приращению f(X) в этом интервале.
- •14.Щільності розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини. Ймовірностний зміст щільності розподілу.
- •16.Запис розрахункових формул центральних моментів через початкові для непреривної випадкової величини.
- •17.Нормальний розподіл, нормальна крива, її властивості. Нормальний розподіл та знаходження координат точок естремума нормального закону розподілу.
- •Исследуем функцию на екстремум:
- •18.Нормальний розподіл, нормальна крива, її властивості. Знаходження точок перегибу нормального закону розподілу.
- •Исследуем функцию на екстремум:
- •19.Нормальний розподіл, нормальна крива, її властивості. Вплив параметрів aі на нормальну криву.
- •Исследуем функцию на екстремум:
- •Исследуем функцию на точки перегиба (2-ая производная)
- •20.Нормальний розподіл, нормальна крива, її властивості. Асиметрія та ексцес.
- •Исследуем функцию на екстремум (первая производная):
- •Исследуем функцию на точки перегиба (2-ая производная)
- •30.Знаходження вибіркового рівняння регресії.
- •21.Поняття про систему кількох випадкових величин. Закон розподілу ймовірностей дискретної двомірної випадкової величини.
- •22.Задачі математичної статистики. Вибірковий метод. Генеральна та вибіркова сукупність.
- •29.Вибіркові рівняння регресії. Пошук параметрів вибіркового рівняння прямої лінії середньоквадратичної регресії по незгрупованим данима.
- •23.Графічне подання рядів розподілу. Полігон та гістрограма.
- •24.Генеральна середня, вибіркова середня. Обчислення генеральних середньої та дисперсії, вибіркових середньої та дисперсії.
- •28.Побудова нормальної кривої та дослідницькими даними.
- •25.Характеристики варіаційного ряду: мода, медіана, розмах варіювання, коефіціент варіації.
- •27.Метод множень, метод сум для обчислення вибіркової середньої та дисперсії.
4.Ймовірність гіпотез. Повторення випробувань. Теорема Бернуллі.
Формула полной вероятности.
Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B1, B2, …Bn, образующих полную группу, равна сумме произведения вероятностей этих событий на соответствующию условную вероятность события А.
Р(А)=Р(В1)*РВ1(А)+ Р(В2)*РВ2(А)+…+ Р(Вn)*РВn(А)
Формула Бейеса:
Позволяет находить вероятность выбранной гипотезы , при условии, что основное событие А уже наступило.
Формула Бернулли:
Применяется в том случае, если производится испытание, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то вероятность такого события можно вичислить по формуле Бернулли (события с малой вероятностью появления при большом числе испытаний)
, где q=1-p
5. Дискретні випадкові величини. Розуміння про закон та функції розподілу ймовірностей дискретних випадкових величин.
Дискретная случайная величина
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Закон распределения может быть задан графически, аналитически и таблично.
Х x1 x2 xn … хn - возможные значения
Р р1 p2 pn ... рn - вероятности
Возможные значения образуют полную группу событий, а по теореме 2 (сложения) вероятность суммы событий, образующих полную группу равна 1.
То есть р1 + p2 + ... + рn = 1
Например, есть 100 лотерейных билетов, среди которых один билет достоинством 50 грн, 10 билетов – 1 грн, все остальные невыигрышные. Составить закон распределения выигрыша при наличии одного билета.
Х 50 1 0
Р 0,01 0,1 0,89
Для дискретной случайной величины ф-я распределения является ступенчатой функцией
26.Методи розрахунку збірних характеристик вибірки. Умовні варіанти.
Умовні варіанти:
Предположим, что варианты выборки расположены в возрастающем порядке, т. е. в виде вариационного ряда. Равноотстоящими называют варианты, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью h. Условными называют варианты, определяемые равен- равенством . Где С—ложный ноль (новое начало отсчета);h— шаг,т. е. разность между любыми двумя соседними первоначальными вариантами (новая единица масштаба). Упрощенные методы расчета сводных характеристик выборки основаны на замене первоначальных вариант условными. Покажем, что если вариационный ряд состоит из равноотстоящих вариант с шагом h, то условные варианты
есть целые числа. Действительно, выберем в качестве ложного нуля произвольную варианту, например .
Тогда
6.Числові характеристики дискретних випадкових величин. Математичне сподівання, властивості математичного сподівання.
-
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений возможных значений случайной величины на их вероятности.
М(Х)=∑ xiрi = x1р1 + x2р2+…+ xnрn
Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C) = C.
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX) =CM(X).
Математическое ожидание алгебраической суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин: M(XY) =M(X)M(Y).
Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(X*Y) =M(X)*M(Y).
Смысл математического ожидания: среднее значение случайной величины.
-
Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего среднего значения.
Смысл: Дисперсия — мера рассеивания случайной величины относительно свого значения