- •2.Визначення ймовірності (класичне, статичне). Види подій. Дії з випадковими подіями.
- •Вероятность достоверного события равна 1
- •Вероятность невозможного события равна 0.
- •3. Теореми множення, додавання ймовірностей. Формула повної ймовірності подій. Ймовірність гіпотез (формула Бейєса).
- •4.Ймовірність гіпотез. Повторення випробувань. Теорема Бернуллі.
- •5. Дискретні випадкові величини. Розуміння про закон та функції розподілу ймовірностей дискретних випадкових величин.
- •26.Методи розрахунку збірних характеристик вибірки. Умовні варіанти.
- •6.Числові характеристики дискретних випадкових величин. Математичне сподівання, властивості математичного сподівання.
- •Среднее квадратное отклонение
- •7.Дисперсія, властивості дисперсії. Знаходження дисперсії.
- •8.Дисперсія дискретної випадкової величини. Вивід властивості дисперсії про дисперсії різниці.
- •12.Вивід розрахункових формул центральних моментів через початкові.
- •9.Числові характеристики дискретної випадкової величини. Виведеня розрахункової формули дисперсії.
- •Среднее квадратное отклонение
- •15.Числові характеристики непреривної випадкової величини.
- •10.Числові характеристики дискретної випадкової величини. Виведення властивості про винесення постійного множника за знак дисперсії.
- •Среднее квадратное отклонение
- •11.Числові характеристики дискретної випадкової величини. Визначення початкового та центрального моментів.
- •Среднее квадратное отклонение
- •13.Неперервні випадкові величини. Функція розподілу, її властивості.
- •Значение ф-и распределения принадлежат отрезку [0;1].
- •F(X) – неубывающая ф-я.
- •Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а,в) равна приращению f(X) в этом интервале.
- •14.Щільності розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини. Ймовірностний зміст щільності розподілу.
- •16.Запис розрахункових формул центральних моментів через початкові для непреривної випадкової величини.
- •17.Нормальний розподіл, нормальна крива, її властивості. Нормальний розподіл та знаходження координат точок естремума нормального закону розподілу.
- •Исследуем функцию на екстремум:
- •18.Нормальний розподіл, нормальна крива, її властивості. Знаходження точок перегибу нормального закону розподілу.
- •Исследуем функцию на екстремум:
- •19.Нормальний розподіл, нормальна крива, її властивості. Вплив параметрів aі на нормальну криву.
- •Исследуем функцию на екстремум:
- •Исследуем функцию на точки перегиба (2-ая производная)
- •20.Нормальний розподіл, нормальна крива, її властивості. Асиметрія та ексцес.
- •Исследуем функцию на екстремум (первая производная):
- •Исследуем функцию на точки перегиба (2-ая производная)
- •30.Знаходження вибіркового рівняння регресії.
- •21.Поняття про систему кількох випадкових величин. Закон розподілу ймовірностей дискретної двомірної випадкової величини.
- •22.Задачі математичної статистики. Вибірковий метод. Генеральна та вибіркова сукупність.
- •29.Вибіркові рівняння регресії. Пошук параметрів вибіркового рівняння прямої лінії середньоквадратичної регресії по незгрупованим данима.
- •23.Графічне подання рядів розподілу. Полігон та гістрограма.
- •24.Генеральна середня, вибіркова середня. Обчислення генеральних середньої та дисперсії, вибіркових середньої та дисперсії.
- •28.Побудова нормальної кривої та дослідницькими даними.
- •25.Характеристики варіаційного ряду: мода, медіана, розмах варіювання, коефіціент варіації.
- •27.Метод множень, метод сум для обчислення вибіркової середньої та дисперсії.
12.Вивід розрахункових формул центральних моментів через початкові.
X |
-5 |
-3 |
2 |
4 |
6 |
P |
0.15 |
0.1799 |
0.12 |
0.2 |
0.3501 |
=M(x-M(x))8=M(x8-x7M(x)+x6M2(x) - x5M3(x)+x4M4(x)- x3M5(x)+x2M6(x)- x1M7(x)+M8(x)) =
==1
==8
==28
==56
=70
=M(x8 - x7M(x) + x6M2(x) - x5M3(x) + x4M4(x) - x3M5(x) + x2M6(x) - x1M7(x) + M8(x))=M(x8)–M(x7)M(M(x)) + M(x6)M(M2(x))–M(x5)M(M3(x)) + M(x4)M(M4(x))–M(x3)M(M5(x)) + M(x2)M(M6(x))–M(x)M(M7(x)) + M(M8(x)) = M(x8)–M(x7)M(x) + M(x6)M2(x)–M(x5)M3(x) + M(x4)M4(x) –M(x3)M5(x) + M(x2)M6(x)–M(x)M7(x) + M8(x) = M(x8)–M(x7)M(x) + M(x6)M2(x)–M(x5)M3(x) + M(x4)M4(x) –M(x3)M5(x) + M(x2)M6(x)–M8(x).
=M(xk)
= - 8 + 28 - 56 + 70 - 56 + 28 - 7
= M(x)
= M(x2)
= M(x3)
Далее находим все начальные моменты через математические ожидания, и, подставляя их находим центральный момент.
9.Числові характеристики дискретної випадкової величини. Виведеня розрахункової формули дисперсії.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений возможных значений случайной величины на их вероятности.
М(Х)=∑ xiрi = x1р1 + x2р2+…+ xnрn
Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C) = C.
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX) =CM(X).
Математическое ожидание алгебраической суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин: M(XY) =M(X)M(Y).
Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(X*Y) =M(X)*M(Y).
Смысл матем. ожидания: среднее значение случайной величины.
Дисперсией дискретной случ. величины наз. математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего среднего значения.
Смысл: Дисперсия-мера рассеивания случ. велич. относит. своего значения.
Свойства:
Математическое ожидание отклонения = 0. М(Х-М(Х))=0
-
D(CX)=C2D(X)
-
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
-
D(X-Y)=D(X)+D(Y)
Расчетная формула дисперсии
D(X) = M(X-M(X))2 = М(Х2-2Х*М(Х)+М2(Х)) =
= М(Х2)-М(2Х*М(Х))+М(М2(Х)) = М(Х2)-2М(Х)*М*М(Х))+М2(Х) =
D(X)=M(X2)-(M(X))2
Дисперсия равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата его математического ожидания.
-
Среднее квадратное отклонение
-
Начальным моментом порядка к дискретной случайной величины называется математическое ожидание случайной величины в степени к.
=М(Хk) (ню)
-
Центральным моментом порядка к дискретной случайной величины называется математическое ожидание отклонения порядка к.
Что бы закон распределения дискретной случайной величины возвести в степень k, необходимо его возможные значения возвести в эту степень, а её возможные значения оставить без изменения вероятности.