Высказывания и логические операции над ними.

Высказывание - предложение которое может быть истинным или ложным (логическая переменная)

1.Отрицание (если р высказывание, то р отрицание р)

2.Коньюнкция ( р^q – может быть истинной только в случае, когда оба высказывания истины)

3.Дизъюнкция(pvq – может быть ложной только в одном случае, когда оба высказывания ложны)

4.Имплекция (p→q, ложно только если p-истина q-ложь)

5.Эквиваленция (P↔Q , xor, 0xor0 =1; 1xor1 =1 остальные случаи ложь)

Свойства:

• p^q<=>q^p; pvq<=>qvp; коммутативность

• (p^q)^r<=>p^(q^r); (pvq)vr<=>pv(qvr); ассоциативность

• p^(qvr)<=>(pvq)v(pvr); pv(q^r)<=>(pvq)^(pvr); дистрибутивность

• p<=>p;

• (p^q)<=>pvq ; pvq<=>p^q ; законы Моргана

• (p=>q)<=>(q v p)

• (p=>q)<=>(q=>p)

Высказывания, зависящие от переменной.

p(n): ”n-простое число”

q(x): “x²>5”

r(x;y): “x-y>1”

Пусть высказывание p(x) задано на множестве U.

Множество значений аргумента, при которых высказывание истинно, называется множеством истинности.

Обозначим A и B множеством истинности высказываний p(x) и q(x) соответственно

Логические операции:

1.Отрицание p(x) истинно на A=U A

2.Коньюнкция ( р(x)^q(x) истинна на A∩B

3.Дизъюнкция (p(x)vq(x) истина на AVB

4.Имплекция (p(x)→q(x) истинна на BVA

5.Эквиваленция (p(x)↔q(x) истинно если A=B

Метод математической индукции.

Кванторы:

- квантор общности «для любого»;

- квантор существования «существует»;

Принцип математической индукции:

1. Доказывается истинность p(1) т.е. проверяется, что высказывание истинно n=1

2. Предполагается, что высказывание истинно при n=k, p(k)-истинна. Проверяем истинность высказывания. p(k+1), т.е. при n=k+1. В этом случае выск истинно

Бином Ньютона, треугольник Паскаля

Бином Ньютона

Факториал: n!=n(n-1)…2*1

3!=3*2*1=6

0!=1

- число сочетаний из n элементов по k эл-в

Треугольник Паскаля

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

Пр.:

Комплексные числа и формы их представления.

- (комплексные числа);

i – мнимая единица;

Z – комплексное число;

;

C = { ; };

y=ReZ – действительная часть числа Z;

x=ImZ – мнимая часть числа Z;

Z=ReZ + ;

– число, комплексно-сопряжённое к Z = x +i*y.

Формы представления комплексных чисел:

- тригонометрическая форма.

; - показательная форма.

; ;

; ;

Арифметические операции:

; ;

1) Сложение (вычитание);

;

2) Умножение;

;

3) Деление;

;

Формулы Эйлера:

1) - результат сложения.

2) ; - результат вычитания.

Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.

; ;

А) Умножение:

Б) Деление:

Вывод формулы Муавра.

Док-во по методу мат. индукции:

n=1

Предположим

n=k+1

Формулы корней n-ой степени из комплексных чисел.

1. Извлечение корня n-ой степени

;

;

2. Решение уравнений над полем комплексных чисел:

-Z₀ – назыв. Корнем многочлена Рn(Z), если Pn(Z₀)=0

Утверждение1: Z₀ является корнем многочлена Pn(Z) тогда и только тогда когда Pn(Z) без остатка делится на (Z- Z₀).

Утверждение2: Любой многочлен Pn(Z) имеет n корней на множестве комплексных чисел и представляются в виде

Матрицы и операции над ними

Матрица A_mxn – это таблица чисел

Amxn =

Квадратная матрица (A_n)

A1xn = - матрица-строка

Amx1 = - матрица-столбец

0mn = - нулевая матрица

En = - единичная матрица

Операции над матрицами:

Сложение и вычитание:

Amxn Bmxn=Cmxn, где cij=aij±bij i=1, 2, 3–строка, j=1, 2, 3,…,n-столбец.

Свойства этой операции:

1. А+В=В+А – коммутативность;

2. (А+В)+С=А+(В+С) – ассоциативность;

3. А+0=А.

Умножение матрицы на число:

k*A=B, k R

b=k*a

Свойства этой операции:

k*(l*A)=(k*l)*A=l*(k*A)– ассоциативность;

(k+l)*A=k*A+l*A– дистрибутивность;

k*(A+B)=k*A+k*B– дистрибутивность;

Умножение матриц:

Amxk*Bkxn=Cmxn

cij= (i-ая строка первой матрицы умножается на j-ый столбец второй)

Свойства этой операции:

(A*B)*C=A*(B*C)– ассоциативность;

(A+B)*C=A*C+B*C и A*(B+C)=A*B+A*C– дистрибутивность;

A*B B*A– вообще говоря;

Amxn*En=Amxn и En*Amxn= Amxn

Транспонирование матриц:

(Amxn)^T= = Bnxm