- •Высказывания и логические операции над ними.
- •Комплексные числа и формы их представления.
- •Определители и их свойства.
- •Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Разложение определителя по строке и столбцу.
- •Обратная матрица: определение, построение и свойства. Решение матричных уравнений.
- •Системы линейных уравнений. Совместные и эквивалентные системы. Элементарные преобразования системы.
- •Теорема Кронекера-Капелли. Схема разрешимости произвольных систем линейных уравнений. Свободные и базисные переменные.
- •2) , , Компланарны
- •Произв. Ф-и в точке:определение, геометрич. И механич. Смысл. Уравнение касательной.
- •Асимптоты графика функции и их нахождение
- •Функции нескольких переменных. Частные производные.
Определители и их свойства.
detA – детерминант матрицы А
detA1= =a11
detA2= =а11*а22-а21*а12
- +
Т
Разложение
определителя по i-ой
строке
d
Разложение
определителя по j-ому
столбцу
Доказательство:
= =а11*а22*а33+а31*а12*а23+а21*а32*а13-(а31*а22*а13+а21*а12*а33+а11*а21*а23)= =а11*(а22*а33-а32*а23)-а12*(а21*а33-а31*а23)+а13(а21*а32-а31*а22)= =а11* -а12* +а13* = =a11*M11-a12*M12+a13*M13= =a11*A11-a12*A12+a13*A13 – что и требовалось доказать
Свойства определителя:
При транспонировании матрицы ее определитель не меняется: det(A)T= detA= =a*d-b*c= - равноправие строк и столбцов
Если 2 строки (столбца) поменять местами, то определитель поменяет знак: =ad-bc=-(bc-ad)=-
Определитель, содержащий нулевую строку (столбец) равен нолю: =0-0=0
Определитель, содержащий одинаковые строки (столбцы) равен нолю: =a*c-a*c=0
Общий множитель какой либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя: =k*a*d-k*b*c=k*(ad-bc)=k
Определитель, содержащий пропорциональные сроки (столбцы) равен нолю: =k*a*b-k*a*b=0
Орпеделитель не изменится, если к элементу какой-либо строки (столбца) прибавить элемент другой сторки (столбца), умноженные на какое-либо число:
det (An*Bn)= det An* det Bn
Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Разложение определителя по строке и столбцу.
Минором Mijэлемента aij пределителя n-го порядка называют определитель (n-1)-го порядка, который получается из исходного вычёркиванием i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическое дополнение Aij элемента aij определителя находится по формуле:
Теорема 1
Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
det -- разложение определителя по i-той строке
det --разложение определителя по j-тому столбцу
Доказательство
Теорема 2
Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равен нулю.
если
Замечание
Определители 4-го и более высокого порядков вычисляется разложением по строке или столбцу.
Обратная матрица: определение, построение и свойства. Решение матричных уравнений.
Если определитель матрицы А не равен нулю, то матрица А является невырожденной, а если определитель матрицы равен нулю, то матрица А является вырожденной.
Матрица, состоящая из алгебраических дополнений к элементам матрицы А, наз. Взаимной.
к матрице А
Матрица A-1называется обратной к матрице А, если: A*A-1=a-1*A=E
Лемма:
Проверка:
Теорема 1
Для того, чтобы у матрицы А существовала обратная матрица , необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной.
Доказательство
, то по лемме
Теорема 2
Если , то она единственна.
Доказательство (от противного)
Пусть - обратные к матрице А
Свойства:
1.
2.
3.
4.
Матричные уравнения:
1. А*Х=В
2. Х*А=В
Х*А*