- •Высказывания и логические операции над ними.
- •Комплексные числа и формы их представления.
- •Определители и их свойства.
- •Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Разложение определителя по строке и столбцу.
- •Обратная матрица: определение, построение и свойства. Решение матричных уравнений.
- •Системы линейных уравнений. Совместные и эквивалентные системы. Элементарные преобразования системы.
- •Теорема Кронекера-Капелли. Схема разрешимости произвольных систем линейных уравнений. Свободные и базисные переменные.
- •2) , , Компланарны
- •Произв. Ф-и в точке:определение, геометрич. И механич. Смысл. Уравнение касательной.
- •Асимптоты графика функции и их нахождение
- •Функции нескольких переменных. Частные производные.
2) , , Компланарны
В ывод уравнения плоскости в пространстве. Нормаль. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Точка M0 и нормаль однозначно определяют плоскость
Пусть - произвольная точка искомой плоскости.
- векторное уравнение плоскости
Расстояние от точки до плоскости :
Углы между плоскостями – углы между нормалями:
Условие параллельности плоскостей:
Условие перпендикулярности плоскостей:
Вывод канонического уравнения прямой в пространстве. Формы задания прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
Пусть - произвольная точка искомой прямой.
- параметрическое уравнение прямой, (t – параметр)
Уравнение прямой AB:
Прямая как линия пересечения плоскостей.
Угол между прямыми
Условие параллельности прямых:
Условие перпендикулярности прямых:
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Угол между плоскостью и прямой:
;
Условие параллельности плоскостей:
;
Условие перпендикулярности плоскостей:
;
Поверхности 2 порядка и их сечения: эллипсоид и конус.
Z=0: - эллипс в плоскости z=c\2
X=0: эллипс в плоскости x=0 y=0
: Конус
Сечения:
Z=0: точка (0; 0; 0)
Z=+-c:
Z=+-2c:
X=0:
Y=b:
Поверхности 2-го порядка и их сечения:
Однополостный и двуполостный гиперболоиды.
Однополостный гиперболоид
Сечения: Эллипс
Двуполостный гиперболоид
С ечения: точки (0;0;c) и (0;0;-c)
-эллипс
Поверхности 2-го порядка и их сечения:
Эллиптический и гиперболический параболоиды.
Эллиптический параболоид
Гиперболический параболоид
Понятие и примеры числовых последовательностей. Монотонные и ограниченные последовательности. Предел числ. послед-сти.
Числ. последовательность называется функция, заданная на множестве натур. чисел N. F(n)=an – общ. член числ. послед.
: 1; 1/2; 1/3; 1/4; …; 1/100… 0
n ∞
: 1;4;8;16;… ;100… ∞
n ∞
: -1;1;-1;1… нет предела
: -1/2;1/4;-1/8;1/16;… 0
n ∞
: 2;5/2;8/3;11/4; … 3
n ∞
a1 a2 0 a3
x
-1/2 -1/8 1/16 1/4
Число а назыв-ся пределом числовой послед-сти (Lim an=A) ,
n∞
если E>0 N такой, что n>N выполняется (an-A)<E (разность сколько угодно мала).
Числ. посл., имеющая конечный предел называется сходящейся (в прот. случае расходящейся).
Св-ва ч.п.:
1) монотонность: an>an+1 – убывающая
an≥an+1 – невозр.
аn<an+1 – возраст.
an≤an+1 – неубывающ.
2) огран-сть: M >0, что (an) ≤M.
аn=1/n – убывающ.
(1/n) ≤1 – ограничен.
аn=(-1/2) n – немонотонна
((-1/2)n) ≤1/2 – ограничена
аn=2 n – возраст. и неогр.
Бесконечно малые и б.б. числовые последовательности, связь между ними.
Теорема 1. : Сходящаяся числ. последовательность ограничена.
Т.2: Ограниченная монотонная ч. п. сходится.
Если Lim an=0 , то ч.п. называется б.м.
Пример: ; ; .
Ч.п. называется б.б. и обознач.: Lim an=∞
n∞
е сли: M>0 N такой, что n>N, выполняется: (an)>M.
пример: ; .
Т.3:
А) если - б.м. ч.п. и an≠0, то - б.б. ч.п. [1/0=∞]
Б) если - б.б. ч.п. и bn ≠0, то - б.м. ч.п. [1/∞=0].
Предел ф-ции(2 опред.):
1-ое опред.(на языке последовательностей(по Гейне)): Число А наз-ся пределом ф-ции f(x) в точке X0 , если на множестве X выполняется:
2-ое опред.(на языке (эпсилам-дельта) по Коши):
, если:
Односторонние пределы и пределы по бесконечному направлению
Односторонние пределы:
1)
Теорема 1: Оба определения предела ф-ции в точке эквивалентны.
Теорема 2: Предел ф-ции X0 тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела и они равны между собой.
Пределы по бесконечному направлению:
1) Если
2) Ф-ция :
Бесконечно малые и бесконечно большие ф-ции в точке, их св-ва:
1) Если
2) Ф-ция :
Свойства:
Теорема 1:
1) Если f(x)-б.м. ф-ция в т.
2) Еслиg(x)-б.б. ф-ция в т.
Теорема 2:
Если
Теорема 3:
Сумма, разность и произведение б.м. ф-ций в т.X0 является б.м. ф-цией в т. X0.
Произведение б.м. в т. X0 на ограниченную, явл. б.м.
Теорема о пределах ф-ции в точке:
Если :
1)
2)
3)
Классификация бесконечно малых функций
Пусть и .
Вычисляем .
Если , то - бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем . Пример
Если , то - б.м. функции эквивалентны в т. X0
Если , то и - одного порядка малости в т. X0. Пример 5x2и3x2.
Замечательные пределы
1-й замечательный предел:
Пример:
1)
2)
3)
2-й замечательный предел:
Пример:
Непрерывность ф-и в точке. Классиф. точек разрыва. Св-ва ф-й, непрерывность в точке и на отрезке.
Y=f(x) по обл Д Xo €Д Xo+∆X€Д ∆X – приращение аргумента
∆f(x)=f(Xo+∆X) – f(Xo) - приращение ф-и в точке Xo
Ф-я y=f(x), наз. Непрерывной в точке Xo если: 1) Xo€Д т.е. f(Xo); 2) ; 3) (б.м. приращение по аргументу соотв. Б.м. приращение аргумента ∆f)
Точки в которых нарушается непрерывность, наз. точками разрыва.
Классиф. точек разрыва: Вычислим: пусть Хо – т.разрыва, f(Xo-0) и f(Xo+0) – односторонние пределы.
1)Если однос.пределы f(Xo-0)=A и f(Xo+0)= В – конечны, то Хо наз.точкой разрыва 1-го рода.
2)В частности, если А=В(но ≠f(Хо), то Хо, наз.точкой устранённого разрыва.
3 )Все остальные точки разрыва(хотябы один из одност. пределов бесконечны или не сущ.)и точки разрыва 2-го порядка.
F(x) =
Х =0,т.разрыва 2-го рода F(x)= F(x)= f(x)=
X=0,т.разрыва 1-го рода x=0, т.устран.разрыва x=1, точка непрерывности
Ф-я f(x) наз.непрер.на отрезке АВ, если она непрерывна в каждой т.этого отрезка.
С в-ва ф-й, непрер.на отрезке: Т1(Вейерштрасса):если ф-я f(x) непрер.на отрезке АВ, то она достигает на этом отрезке наибол.(М) и наимен.(м) значений.
Т 2: если ф-я непрер. На отрезке АВ и принимает на концах отрезка значение разных знаков, т.е. f(a)*f(b)<0,то сущ. C€(a,b) такой, что f(c)=0
Т 3: если ф-я f(x) непрер. На отрезке АВ и приним. значение между м и М, то для любого числа C€(a,b) такое, что f(c)=c
Т еорема: все остальн. Элементы ф-и( степенная, показательная, логарифмическая, тригоном. и обратн. тригоном)непрер. на своей облости определения. Пример: док-ть, что ф-я f(x)=2+3x-x2 непрер. на(-∞;+∞)
2’) ;