Непрерывное перемещение по плоскости.

ПП

n n

( хi + а; уi + в)

v v

n = 0, N

n n n n

В р(х0 соs φ – у0 sin φ; х0 sin φ + у0 соs φ)

N N N N

n n

Р аст/сж. (х0 + ( - 1) х0; у0 + ( - 1)у0)

N N

( **) каждая из координат зависит от 3-х пар-ров, поэтому произв. m. М став. в соотнош. в-тор столбец х - получило название однородные

у координаты

1

Понятие однородных координат позволяет описать все преобразования на плоскости в удобной матричной форме.

Пример:

φ

А

А(а, в)

φ

3 шага:

1) перемещение плоскости для совмещения нач. координат с точкой А:

1 0 -а

Т-А = 0 1 -в

0 0 1

2. Поворот плоскости на угол φ

соs φ - sin φ 

Rφ = sin φ соs φ 

0 0 1

3. перемещение плоскости для возвращения в нач. коорд.

1 0 а

ТА = 0 1 в

0 0 1

Т-А · Rφ · ТА

х * соs φ - sin φ -а соs φ +в sin φ +а х

у* = sin φ соs φ -аsin φ -всоs φ +в -у

1 0 0 1 1

а, в нужно разбить на N шагов.

Опред. принадл. точки к внутр. многоугольника.

_

l n ______

(М0 Мn) = 0

М0 n = (АВ)

- +

М М0М = (х – х0; у – у0)

А(х – х0) + В(у – у0) = 0

С = -А х0 – В0у

Ах + Ву + С = 0 – общ. ур. прямой

М'(х'у') М' М0М

Ах' + Ву' + С:

1. если значение  0, то m. М' лежит в положительной полуплоскости

2. если значение < 0, то m. М' лежит в отрицательной полуплоскости.

Свойства норм. в-ра прямой.

_

Если отлож. норм в-р n от некоторой точки прямой 1, то конец этого в-ра всегда окажется лежащим в положительной полуплоскости.

Выпуклые фигуры.

Для них отрезок, соедин. 2 точки, принадлежащие многоугольнику, также принадлежат этому многоугольнику.

+ +

—

+

Ур-я прямых, задающих треугольник всегда можно выбрать так, чтобы в-ры норм. были направлены во внеш. сторону треугольника.

Проверка условия принадлежности:

1. добиться, чтобы внутренность многоугольника была отрицательной.

2. Подстановка коорд. точки, в каждое ур-е прямой должна давать отрицательное значение.

ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Общее уравнение пл-ти

Ах + Ву + Сz + Д = 0

А² + В² + С² > 0

N = (А, В, С)

- +

Условие принадлеж. точки к внутренности выпуклого многогранника абсолютно аналогично плоскости.

Параллельный перенос:

х* = х + а

у* = у+ в

z* = z + с

В ращение

 ось ОХ х* = х

у* = усоs φ - z sin φ

z* =у sin φ + zсоs φ

 ось ОУ х* = хсоs φ + z sin φ

у* = у

z* = - х sin φ + zсоs φ

 ось О х* = хсоs φ - у sin φ

у* = х sin φ + усоs φ

z* = z

Зеркальное отражение.

О ХУ х* =х

у* = у

z* = z

Растяжение и сжатие:

х* = х

у* = у

z* = z

Общие преобразования

х* = а1х +в1у + с1z + d1

у* = а2х +в2у + с2z + d2

z* = а3х +в3у + с3z + d3

М(х, у, z)

С тавит в соотв. в-р столбец х

у

z

1

Удаление скрытых линий:

Для построения изображения необходимо удалить ребра, которые при проецировании на плоскость экрана оказались невидимыми.

Для вып. мн-ков: все грани разбив. На лицевые (в-р внеш. нормали направлен к наблюдателю) и не лицевые. На экране отображ. только лицевые грани. _

h

_

Р

Грань яв-ся лиц. в том случае если (р - , n) < 0

 - в-р опис. положение наблюдателя

_

р – в-р, определяющий пояснение произв. точки на грани

_

n – в-р, внеш. нормали.