Модели об-в и их классификация.

Модели

П оверхностные Сплошных тел Проволочные Точечные

Ячеечные Гранич. Конструктив.

Поверхностная.

Представляет собой об. в виде тонких пов-тей под которыми находится пустое пр-во, не заполненное материалом об-ть.

Сплошные тела.

Об. принадлежат все точки (наружные и внутренние).

Проволочные.

Опис. заключ. в представлении пов-ти серией пересекающихся линий, которые принадлежат пов-ти объекта.

Точечные.

Пов-ть представлена набором точек.

С. т. ячеечное заполн.

Все пространство, которое содержит объект разб. на большое число дискретных куб. ячеек и модел. с-ма фикс. инф. о том принадл. каждая ячейка объекту или нет.

_ _





Недостаток: требуется большой объем памяти.

Недостаток устраняется с помощью использования подячеек.

С. т. сплош. конструктивами.

Сложные объекты состоят из простых объемных примитивов.

Достоинства:

• простота концепции

• требуется малый объем памяти

• застрахов. от созд. противоречивых конструкций

• приспособленность к усложнению

Недостатки:

• огранич. рамками булевых операций

• вычисления – емкие алгоритмы обработки

• невозможность использования параметр. описания пов-тей.

С. т. граничные.

Описание об. выполн. элементами, которые образ. границы объекта. (куски пов-тей, края и др.).

Достоинства:

• большие возможности

• быстрый доступ к геометр. информации

• простое создание пов-ти своб. форм.

Недостатки:

Логически менее устойчиво и возможно создание противоречивых конструкций.

Примитивы и их комбинации.

Примитивом называется некоторая часть пр-ва, которая охват. пов-тью одной функции.

Наиболее используемые: параллелепипед, цилиндр, эллипсоид, конус, тетраэдр, ч. пл-ти.

Комбинация:

• Суммой называется такое тело, каждая точка которого принадлежит хотя бы одному из объед. примит.

А(П1 + П2), если АП1 или АП2

• Перес. называется такое тело, каждая точка которого одновременно принадлежит каждому из объединенных примитивов.

А(П1 х П2), если АП1 или АП2

• Вычитанием П2 из П1 называется тело, каждая точка которого принадлежит П1, но не принадлежит П2.

А(П1 - П2), если АП1 ^ АП2

Описание кривых и пов-тей произ-ных форм.

Что необходимо для описания пов-ти произ. формы?

1. Задание подходящего набора этал. точек.

2. Определение способа построения эл-х фрагментов пов-ти.

3. Определение механизма плавной состыковки эл-х фрагментов пов-ти.

4. Анализ полученных результатов.

Для решения задачи необходимо определить класс кривых или пов-ти, которая отвечает след. св-м:

1. выбираемый класс должен описываться достаточно просто;

2. кривые и пов-ти, входящие в соотв. класс должны быть достаточно гладкими;

3. поиск нужной кривой или пов-ти должны быть сравнительно легкими, т. е. должен быть эффективный алгоритм ее построения;

4. для больших массивов точек найденные кривые должны вести себя вполне предсказуемо

Сплайн ф-ции 1-ой переменной.

На [а; в]

Задана сетка этал. точек ω

ω: а = х0 < х1 < …< хm = в

х0, хm – гранич. узлы сетки

х1 …хm-1 – внутр. узлы.

Функция S (х) называется сплайном порядка Р + 1, либо степенью Р, если эта ф-я:

1. на каждый из отрезков

[xi , … хi+1], i = 0, … m – 1, является многочленом задан. степени Р2

р i

S(х) = ак (х – хi)

К=0

2. ф-я Р – 1 раз непрерывно диф. на [а; в]

р-1

S(х)  С [а; в]

Интерполяционные кубич. слайды.

Построить гладкую на отр. [а; в] ф-ю  (х), которая принимает в узлах сетки ω заданное значение

(хi) = уi 0  i  m

Постр. на [а; в] гл. ф-ю  (х), совпад. в узлах сетки с f(х)

(хi) = f(хi)

0  i  m

Интерп. куб. сплайном S(х) на ω называется ф-я, которая на каждом из отр. 1) [хi … хi+1] 0  i  m предств. в следующем виде:

i i i i

S(х) = Si(х) = а0 + а1 (х – хi) – а2 (х – хi)² + а3 (х – хi)³

2) 2 непрер. диф. на [а; в]

3) удовл. усл.

S(хi) = уi = f(хi) 0  i  m

3(m – 1) – выр. m + 1 ур-е

S(х) S'(х) S''(х) 3(m – 1)

+

m + 1

4 m – 2

Граничные усл.:

1) задается 1-ая произв. в узлах сетки

S'(а) = S'(а) S'(в) = f''(в)

2) зад. 2 произв.

S''(а) = f''(а) S''(в) = f''(в)

3) для период ф-й

S'(а) = S'(в)

S''(а) = S''(в)

4) зад. 3-я производная

S''' (у, х0 - 0) = S''' (у, х0 + 0)

S''' (у, хm - 0) = S''' (у, х0 - 0)

Построение интер. кубич слайда

[xi , хi-1]

Si(х) = уi (1 – t)²(1 + 2t) + уi+1 t² (3 - 2t) + nihit (1 – t)² - ni+1t²(1 – t)

hi = хi+1- хi

х - хi

t =

ni

ni – зависит от выбр. гран. условий.

Для гран. усл. 1 и 2.

2 n0 + М0*n1 = С0*

1n1-1 + 2ni + Мin1-1 = Сi 1 i  m – 1

m* nm-1 + 2nm = Сm

уi+1 - уi уi – уi-1

С i = 3 Мi + i

hi hi-1

хi- хi-1

М i =

хi+1- хi-1

хi+1- х1

 i =

хi+1- хi-1

1. М0* = 0

m* = 0

С0* = 2у'0

Сm* = 2у'm

2. 2) М0* = 1

m* = 1

у1 – у0 h0

С 0* = 3 - у0

h0 2

уm – уm-1

С m* = 3 у'm

2

3 тип 2n1 + М1n2 +1n2 = G

ini-1 + 2ni + М1ni+1 = Сi

Мmn1 + mnm-1 + 2nm = Сm

Алгоритм нахождения S (х)

х  [хi; хi+1]

1) находятся коэффициенты ni

0  i  m

2) А. В

уi+1- уi -1

А = - 2 + ni + ni-1

хi+1- хi

уi+1- уi

В = -А + + ni

хi+1- хi

3. S(х) = уi + (х – хi)(ni + t(В + t·A))

х - хi

t =

хi+1- хi