Выбор узлов интерполяции.

1. точки, где 3-я производная терпит разрыв

2. точки разрыва 2-ой производной должны попадать в пред. инт. [хi; хi+1]

3. при разрыв. ф-ции f'(х) отрезок апроксимируется промеж., где 1-я производная непрерывна и на каждом промежутке строится сплайн.

Сравнение интерполяц. ф-ций.

1) Многочлен Лагранжа.

m φm(х)

L m(х) = уi

i=0 (х – хi) φ'm(хi)

m

φm(х) = П (х – хi)

i=0

+ график проходит через каждую точку

+ ф-я легко описывается

+ имеет непрерыв. произв. любого порядка

+ многочлен однозначно определяется заданным массивом

- степень многочл. зависит от числа выбран узлов интерполяции

- изменение хотя бы 1-ой точки требует полного пересчета коэффициента

- при добавлении новой точки увеличивает степень и требует полного пересчета коэф.

- при неогр. измельч. сетки ст-нь многочлена неограниченно возрастает

2) Кусочно-линейная интерполяция.

+ график проходит через каждую точку

+ легко описывается

+ определена однозначно заданным массивом

+степень не зависит от числа узлов сетки

+ изменение хотя бы 1-ой точки требует дополн. пересчета только 4-х коэффициентов

- ф-я не является гладкой и в узлах сетки 1-я производная терпит разрыв.

3) Сплайн интерполяций.

Особенности:

а) график проходит через каждую точку массива

б) ф-я легко описывается

в) опред. однозн. заданным массивом

г) ст-нь не зависит от числа узлов сетки

д) ф-я имеет непрер. произв. до (р – 1) порядка включ.

е) обладает хорошими апроксимирующими св-ми.

Кривые Безье.

Р = {Рi(хi, уi, zi), 0  i  m}

Кривые Безье ст-ни п. имеет следующий вид:

m m

R(t) = Вi (t) Рi 0  t  1

i=0

m m! I m-i

В i (t) = · t (1 – t)

i!(m-i)!

х /t х0 … хm М00 … М0m tº

у/t = у0 … уm :

z/t z0 … zm Мno … Мmm tⁿ

j-i

М ij = (-1) m j

j i

m!

j!(m-j)!

По 4 точкам

m = 3

R(t) =((1 – t)Р0 + 3 tР1)(1- t) + 3 t²Р2)(1- t) + t³Р3

0  t  1

R(t) = РМТ

х(t)

R(t) = у(t)

z(t)

1 -3 3 1

М = 0 3 -6 3

0 0 3 -3

0 0 0 1

tº

Т = t¹

t²

t³

х0 х1 у2 z3

Р = (Ро Р1 Р2 Р3) = у0 у1 у2 z3

z0 х3 z2 z3

Представление в виде данных.

Пиксель: физический и логический.

Физический – реальные точки, отображаемые на устройстве вывода, наим. физ. эл-ты на пов-ти отображ., которые можно обр. аппар и прогр. способом.

Логический – подобный матем. точкам имеет местопол., но не занимает физ. пространства.

Количество возможных цветов будет определяться количеством бит, которые используются для описания каждого пикселя.

Устройства отобр.

1. 2-х уровневое устройство отображения

1бит/пиксель

2. многоуровневые 24

Человек различает 2 цветов, а воспринимает примерно 10 тыс. цветов.

Варианты отображ . цветов:

а) устр. вывода способно отобразить больше цветов, чем нужно для изображения

Д У

б) устройство способно отобразить меньше цветов, чем сод. в изобр.

Д У

Варианты представления цвета:

1. Непосредственное представление

2. В виде наборов индексов в палитре цветов