Упражнение 23.

 (нижнего) сечения А рА  р*<A.

Т.о., каждое вещественное число есть просто множество всех рациональных чисел, меньших его.

Ну, а если теперь устроить таким же образом сечения во множестве вещественных чисел? Не появятся ли при этом ещё какие-нибудь новые «числа»?

Произойти это может только в том случае, если среди верхних чисел сечения не окажется наименьшего (как было, например, в случае 2). Это означало бы наличие «щёлки» между верхними и нижними числами сечения и появление нового объекта (этой самой щёлки). Иначе мы имеем дело с минимальным верхним числом, которое и отвечает всему сечению, как это было в случаях с рациональными сечениями. Теорема Дедекинда утверждает, однако, что все щели уже заполнены, для новых чисел мест на числовой прямой больше нет!

Перед следующим упражнением напоминаем, что, например, рациональное вещественное число 3 по нашим построениям – это множество всех рациональных чисел, меньших 3, а иррациональное число =Ö2 – это множество всех рациональных чисел, меньших  (в данном случае – квадрат которых меньше двух).

Упражнение 24.

Пусть А – непустое собственное подмножество R, ={qQ А такое, что q} ( состоит из всех рациональных чисел, меньших хотя бы одного числа из А).

Тогда  - вещественное число.

Упражнение 25. (Теорема Дедекинда о полноте поля R)

Пусть (А,В) – разбиение R (т.е. А,В; АВ=R, АВ=) такое, что (aA)(bB)(a<b).

Тогда !R такое, что А, В .

Упражнение 26. (Следствие) В условиях предыдущего упражнения либо А имеет наибольшее число, либо В имеет наименьшее. Таким образом, каждое сечение во множестве R имеет наименьшее верхнее число.

Мы затеяли расширение числового поля в поисках решения уравнения х²-2=0 но до сих пор так и не получили ответа – а в R-то хотя бы оно найдётся? Теперь мы и займёмся ответом на этот вопрос.

Def. Пусть ЕR. Если уR таково, что ху хЕ, то множество Е называется ограниченным сверху, а у называется его верхней границей (ВГ). Понятно, что верхних границ всегда бесконечно много у любого ограниченного сверху множества. Аналогично определяются нижние границы. Множество, ограниченное и сверху и снизу называется ограниченным. Среди всех верхних границ, однако, может иметься минимальная ВГ, а именно, такая ВГ у, что (х<y)x не является ВГ. Такая ВГ у E называется верхней гранью (или точной верхней гранью – ТВГ) множества Е. Обозначение: y=supE. Таким же образом определяется нижняя грань, w=infE.

Упражнение 27.

Найдите верхнюю и нижнюю грани у множества Е={ }

*Упражнение 28.

ER, E, E ограничено сверху! supE.

(hint: A={aR xЕ: a<x}, B=R\A. Check (A,B) satisfies condition of ex.25)

Теперь всё готово для ответа на поставленный вопрос.

*Упражнение 29.

Из всякого положительного вещественного числа можно извлечь квадратный корень. А именно, х>0 !y>0  y²=x.

(hint: let E be set of all t>0, t²<x. Prove E meets conditions of ex.28 and consider y=supE. Assume y²<x. Find k, 0<h<1 such that y+hE. Now assume y²>x. Find k, 0<k<1 such that (y-k)²>x).

Точно таким же образом, вспомнив разложение Бинома Ньютона (y+h)ⁿ, докажите, что можно извлечь корень любой натуральной степени из любого неотрицательного вещественного числа:

Упражнение 30*. х>0, n !y>0  yⁿ=x.

Def. Если у таково, что yⁿ=x, то пишут

Упражнение 31.

Пусть qQ, q0, rR\Q. Докажите, что тогда r+q и rq – иррациональны. Упражнение 32. Докажите, что между любыми двумя вещественными числами находится иррациональное число.

Упражнение 33. Пусть x>0, y>0, n. Докажите, что

Def. Пусть x>0, qQ, . Положим

Упражнение 34. Докажите, что

Упражнение 35. x>1, p,qQ, p<qx^p<x^q.

Упражнение 36. Для x>1 и вещественного у дайте определение х^у.

Упражнение 37. Докажите, что (1<x)(y<z)x^y<x^z; (y>0)(1<x<z)x^y<z^y.

Упражнение 38. Сформулируйте аналогичные утверждения (упр. 35-37) и дайте определение степени с вещественным показателем для случая 0<x<1.

Упражнение 39. Докажите основное свойство показательной функции:

x^y+z=x^yx^z.

Упражнение 40. Пусть даны x>0, b>1. Докажите, что ! yR, являющееся решением уравнения x=b^y. Это число у называется «логарифмом х по основанию b». Пишут: y=log_bx. Распространите утверждение и определение на случай 0<b<1.

Упражнение 41. Докажите основное свойство логарифма:

log_axy=log_ax+log_ay

Упражнение 42. Обоснуйте формулу замены основания для логарифмов:

log_ax=(log_bx):(log_ba)

Упражнение 43.

Забудьте на полчаса (не более!) несколько предыдущих упражнений и поищите, функцию, которая установит изоморфизм аддитивной и мультипликативной структур R; иначе говоря, изоморфизм R как абелевой группы по сложению на её мультипликативную абелеву группу. То есть f: RR\{0}, f(x+y)=f(x)f(y) х,уR. Прежде всего, установите, чему должен быть равен (исходя из функционального уравнения для f) f(0), затем положите f(1)=a, начните с , перейдите к Q и закончите R.

Упражнение 44.

Нарисуйте графики показательной функции у=b^х для случаев а) 0<b<1 и b) 1<b.

Теперь нарисуйте графики логарифма y=log_bx для тех же случаев.

Как, зная одни графики, рисовать другие, ничего не вычисляя и не анализируя заново?

(Ветераны вспоминают 6-ой класс). Теперь (график какой функции надо использовать?) нарисуйте график функции у=х, х0, у0.

Мы из двух значений корня выбираем положительный – т.н. арифметическое значение корня. Так принято, чтобы функция была функцией. Мы выбираем одну из ветвей (верхнюю) параболы - ГМТ плоскости, являющихся решением уравнения у²-х=0. Помните, что,

Теперь, когда функция извлечения квадратного корня обрела право на существование, мы можем приступить к задаче решения квадратных уравнений. Общий вид «квадратного трёхчлена» - Р(х)=ах²+вх+с, а0. Общий вид уравнения второй степени, соответственно, ах²+вх+с=0. Оно сводится к решению приведённого уравнения второй степени (со старшим коэффициентом, равным единице) х²+рх+q=0 (почему? каким образом?). Заменой переменных х=t+c оно приводится к виду t²-d=0, которое мы уже умеем решать.