1. вопрос

При аксиоматическом построении какой-либо математи­ческой теории соблюдаются определенные правила:

• некоторые понятия теории выбираются в качестве основ­ных и принимаются без определения;

- каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение, в нем разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятий;

• формулируются аксиомы - предложения, которые в дан­ной теории принимаются без доказательства; в них раскры­ваются свойства основных понятий;

- каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано; такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.

Если построение теории осуществляется аксиоматическим методом, т.е. по названным выше правилам, то говорят, что теория построена дедуктивно.

При аксиоматическом построении теории по существу все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом. Поэтому к системе аксиом предъявляются особые требова­ния. Прежде всего, она должна быть непротиворечивой и независимой.

Система аксиом называется непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения.

Если система аксиом не обладает этим свойством, она не может быть пригодной для обоснования научной теории.

Непротиворечивая система аксиом называется независи­мой, если никакая из аксиом этой системы не является следст­вием других аксиом этой системы.

При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом. Но они должны быть равносильными.

Суть отношения «непосредственно следовать за» раскры­вается в следующих аксиомах.

Аксиома 1. В множестве N существует элемент, непосред­ственно не следующий ни за каким элементом этого множест­ва. Будем называть его единицей и обозначать символом 1.

Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а', непосредственно следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

Аксиома 4. Всякое подмножество М множества N, обла­дающее свойствами: 1) 1 C М; 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а' содержится в M, совпадает с множеством N.

Сформулированные аксиомы часто называют аксиомами Пеано.

2 Вопрос.

Аксиоматический подход

Суть отношения «непосредственно следовать за» раскры­вается в следующих аксиомах.

Сформулированные аксиомы часто называют аксиомами Пеано.

Используя отношение «непосредственно следовать за» и аксиомы 1-4, можно дать следующее определение натураль­ного числа.

Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множест­вом натуральных чисел, а его элементы - натуральными числами.

В определении натурального числа ни одну из аксиом опустить нельзя.

Теоретико-множественный подход

Так как любому непустому конечному множеству соответ­ствует только одно натуральное число, то вся совокупность конечных множеств разбивается на классы равномощных множеств. В одном классе будут содержаться все одноэле­ментные множества, в другом - двухэлементные и т.д. Множе­ства одного класса различны по своей природе, но все они содержат одинаковое число элементов. И это число можно рассматривать как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Таким образом, с теоретико-множественной точки зрения, натуральное число - это общее свойство класса конечных рав­номощных множеств.

Так как каждый класс равномощных конечных множеств однозначно определяется выбором какого-нибудь его пред­ставителя, то о натуральном числе «три» можно сказать, что это общее свойство класса множеств, равномощных, напри­мер, множеству сторон треугольника, а о натуральном числе «четыре», что это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству вершин квадрата.

С точки зрения измерения величины

Выясняя смысл натурального числа как меры величины, все рассуждения будем вести на примере одной величины - длины отрезка.

Уточним сначала понятие «отрезок состоит из отрезков».

Определение. Считают, что отрезок х состоит из от­резков х₁, х₂, ..., х_n, если он является их объединением и ни­какие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы.

В этом же случае говорят, что отрезок х разбит на отрезки х₁, х₂, ..., х_n и пишут

x=х₁ϴ х₂ ϴ … ϴ х_n

Пусть задан отрезок х, его длину обозначим X. Выберем из множества отрезков некоторый отрезок е, назовем его еди­ничным отрезком, а длину обозначим буквой Е.

Определение. Если отрезок х состоит из а отрезков, ка­ждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины X данного отрезка при единице длины Е.

Пишут: X = а∙Е или а = m_Е(Х).

Например, отрезок х (рис. 120) состоит из 6 отрезков, равных отрезку е. Если длину

единичного отрезка обозначить буквой Е, а длину отрезка х буквой X, то можно написать, что X = 6Е или 6 = m_Е(Х).

Из данного определения получаем, что натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины от­резка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется. При выбранной единице длины Е это число единственное.

Аналогично можно истолковать смысл натурального чис­ла и в связи с измерением других величин. Так, в записи 3 см² число 3 означает, что фигура F состоит из трех единичных квадратов с площадью, равной квадратному сантиметру.