4. Вопрос

Аксиоматический подход

Определение. Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:

(V а є N) а + 1 = a'

(V a,b є N) а + b'= (а + b)'.

Число а + b называется суммой чисел а и b, а сами числа а и b - слагаемыми.

Как известно, сумма любых двух натуральных чисел пред­ставляет собой также натуральное число, и для любых нату­ральных чисел а и b сумма а + b - единственна. Другими сло­вами, сумма натуральных чисел существует и единственна. При аксиоматическом построении теории нату­ральных чисел доказывают следующие утверждение:

Теорема 1. Сложение натуральных чисел существует и оно единственно.

(Va,b ϵ N)(Ǝ!c ϵN) a+b=c

Теорема 2. (V а,b,с є N) (а + b) + с = а + (b + с).

Доказательство. Пусть натуральные числа a и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех натураль­ных чисел с, для которых равенство (a+b)+с = а+(b+с) верно.

Докажем сначала, что 1 є М, т.е. убедимся в справедливости равенства

(а + b) + 1 = а + (b + 1) Действительно, по определе­нию сложения, имеем

(а + b) + 1 = (a + b)' = a+b' = a+(b+1).

Докажем теперь, что если с є М, то с' є М, т.е. из равенства (а+b)+с = а+ (b+с) следует равенство (а+b)+с' = а+ (b+с′). Действительно, по определению сложения, имеем:

(а + b) + с' =((а+b)+с)'. Тогда на основании равенства (а + b)+с = а+(b+с) можно записать: ((a+b)+c)' = (a+(b+c))'. Откуда, по определе­нию сложения, получаем:

(a+(b+c))' = а+(b+с)' = а+ (b +с′).

Таким образом, мы показали, что множество М содержит 1, и из того, что с содержится в М, следует, что и с' содержится в М. Следовательно, согласно аксиоме 4, М = N, т.е. равен­ство (а + b) + с = а + (b + с) истинно для любого натураль­ного числа с, а поскольку числа а и b выбирались произ­вольно, то оно истинно и для любых натуральных чисел а и b, что и требовалось доказать.

Теорема 3. (V a,b є N) а + b = b + а.

Теорема 4. (V а,b є N) а+b ≠b.

Теорема 5. (V а,b,c є N) а=b=>a+c=b+c

Теоретико-множественный подход

Сложение целых неотрицательных чисел связано с объеди­нением конечных непересекающихся множеств. Например, если множество А содержит 5 элементов, а множество В – 4 элемента и пересечение множеств А и В пусто, то число элементов в их объединении равно сумме 5 + 4.

Посмотрим, почему задача будет решаться с помощью сложения: «Катя нашла 3 гриба, а Маша - 4. Сколько всего грибов нашли девочки?»

В задаче рассматриваются три множества: множество А грибов Кати, множество В грибов Маши и их объединение. Требуется узнать число элементов в этом объединении, а оно находится сложением. Так как n(А) = 3, n(В) = 4 и А∩В = Ø, то n(А U В) = 3 + 4. Сумма 3 + 4 - это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 3 + 4 = 7. Следовательно, девочки нашли 7 грибов.

«В саду собрали 7 кг смородины и 3 кг малины. Сколько всего килограммов ягод собрали?»

В задаче две величины - масса смородины и масса малины. Известны их численные значения. Требуется найти численное значение массы, которая получится, если данные массы сло­жить. Для этого, согласно рассмотренной теореме, надо сло­жить численные значения массы смородины и массы малины, т.е. получить выражение 7 + 3. Это математическая модель данной задачи. Вычислив значение выражения 7 + 3, получим ответ на вопрос задачи.