6 Вопрос

Аксиоматический подход

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция обратная сложению.

Определение. Вычитанием натуральных чисел а и b назы­вается операция, удовлетворяющая условию: а–b=c то­гда и только тогда, когда b + с = а.

Число a–b называется разностью чисел а и b, число а - уменьшаемым, а число b - вычитаемым.

Теорема 24. Разность натуральных чисел а–b существует тогда и только тогда, когда

b < а.

Доказательство. Пусть разность а–b существует. То­гда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b + с = а, а это значит, что b < а.

Если же b < а, то, по определению отношения «меньше», существует такое натуральное число с, что b + с =а. Тогда, по определению разности, с=а–b, т.е. разность а–b существует.

Теорема 25. Если разность натуральных чисел аи b суще­ствует, то она единственна.

Теорема 21. Пусть a,bиc- натуральные числа.

а) Если а > с, то (а + b) – с = (а – с) + b.

б) Если b > с, то (а + b) – с = а + (b – с).

в) Если а > с и b > с, то можно использовать любую из данных формул.

Теорему 22 можно сформулировать в виде правила: для то­го чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.

Теоретико-множественный подход

В аксиоматической теории вычитания натуральных чисел было определено как операция, обратная сложению: под

а – b = с <=> (Ǝ с є N) b + с = а.

У школы росло 7 деревьев, из них 4 березы, остальные липы. Сколько лип росло у школы.

В задаче рассматривается три множества: множество А всех деревьев; множество В берез, оно является подмножеством А; и множество С лип – оно представляет собой дополнение В до А. Разность 7-4 – это математическая модель данной задачи. Вычеслив значение этого вырожения, получим ответ на ворос задачи: 7-4=3. Следовательно, у школы росло 3 липы.

С точки зрения измерения величины

Купили 7 кг картофеля и капусты. Сколько килограммов картофеля купили, если капусты было 3 кг?

В задаче рассматривается масса овощей, известно ее численное значение. Эта масса складывается из массы картофеля и капусты, численное значение которой так же известно. Требуется узнать численное значение массы картофеля. Так массу картофеля можно получить, вычитая: 7-3. Вычеслив значение этого вырожения, получим ответ на вопрос задачи.