8 Вопрос

Присоединим к множеству N натуральных чисел еще один элемент, который называется нулем и обозначается 0. Получен­ное множество называется множеством целых неотрицатель­ных чисел и обозначается Zo, таким образом Zo = N U {0}.

Относительно числа 0 условимся, что оно меньше любого натурального числа, а арифметические операции в случае, ко­гда одна из компонент равна нулю, определяется равенствами:

(V а ϵ N) а + 0 = 0 + а = а; (V а ϵ N) а - 0 = а;

(V а ϵ N) а• 0 = 0; (Va є N) 0 : a = 0.

Кроме того, будем считать, что:

0+0 = 0; 0*0 = 0; 0-0=0; а - а = 0.

Вычитание и деление для целых неотрицательных чисел определяются так же, как и для натуральных.

Теорема 28. Деление на нуль невозможно.

Доказательство. Пусть даны целое неотрицательное число а и b = 0.

Рассмотрим случай, когда а ≠ 0. Предположим, что частное такого числа и нуля существует. Тогда, по определению деле­ния, найдется такое целое неотрицательное число с, что а = с*0, откуда а = 0. Пришли к противоречию с условием, значит, частное чисел а ≠ 0 и b = 0 не существует.

Пусть теперь а = 0. Предположим опять, что частное а = 0 и b = 0 существуют, и тогда найдется такое целое неотрица­тельное число с, что выполняется равенство 0 = с*0, истинное при любых значениях с. Таким образом, частным чисел а = 0 и b = 0 может быть любое целое неотрицательное число, т.е. результат деления определяется не единственным образом. Поэтому в математике считают, что деление нуля на нуль также невозможно.

Число «нуль» с теоретико-множественных позиций рассмат­ривается как число элементов пустого множества: 0 = п(Ø).

Итак, натуральное число а как характеристику количества можно рассматривать с двух позиций:

1) как число элементов в множестве А, получаемое при счете, т.е. а = п(А), причем А ~ N_a;

2) как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

9 Вопрос

Определение. Пусть даны натуральные числа a и b. Гово­рят, что число а делится на число b, если существует та­кое натуральное число q, что а = bq.

В этом случае число b называют делителем числа а, а число а - кратным числа b.

Например, 24 делится на 8, так как существует такое q = 3, что 24 = 8*3. Можно сказать иначе: 8 - это делитель числа 24, а 24 есть кратное числа 8.

В том случае, когда а делится на b, пишут: а|b. Эту запись часто читают и так: «а кратно b».

Заметим, что понятие «делитель данного числа» следует отличать от понятия «делитель», обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5 - делитель, но 5 не является делителем числа 18. Если 18 делят на 6, то в этом случае понятия «делитель» и «делитель данно­го числа» совпадают.

Из определения отношения делимости и равенства а = 1*а, справедливого для любого натурального а, вытекает, что 1 является делителем любого натурального числа.

Выясним, сколько вообще делителей может быть у нату­рального числа а. Сначала рассмотрим следующую теорему.

Теорема 1. Делитель b данного числа а не превышает это­го числа, т.е. если а⁞b, то b ≤ а.

Доказательство. Так как а⁞Ь, то существует такое q ϵ N, что a = bq и, значит, а-b = bq - b = b* (q- 1). Поскольку аϵN, то q ≥ 1. Тогда b* (q - 1) ≥ 0 и, следовательно, b ≤ а.

Из данной теоремы следует, что множество делителей дан­ного числа конечно. Назовем, например, все делители числа 36. Они образуют конечное множество {1, 2, 3,4, 6, 9, 12, 18, 36}.

В зависимости от числа делителей среди натуральных чи­сел различают простые и составные числа.

Определение. Простым числом называется такое нату­ральное число, которое имеет только два делителя - еди­ницу и само это число.

Например, число 13- простое, поскольку у него только два делителя: 1 и 13.

Определение. Составным числом называется такое нату­ральное число, которое имеет более двух делителей.

Так число 4 составное, у него три делителя: 1, 2 и 4. Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только один делитель.

Чисел, кратных данному числу, можно назвать как угодно много, - их бесконечное множество. Так, числа, кратные 4, образуют бесконечный ряд: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ..., и все они могут быть получены по формуле а = 4q, где q принимает значения 1, 2, 3,....

Нам известно, что отношение делимости обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимо­сти, мы можем доказать эти и другие его свойства.

Теорема 2. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.

Теорема 3. Отношение делимости антисимметрично, т.е. если а⁞Ь и а ≠ b, то b⁞а(под отрицанием).

Теорема 4. Отношение делимости транзитивно, т.е. если а⁞bи b⁞с, то а⁞ с.