12 Вопрос

Определение. Пусть а - целое неотрицательное число, а b - число натуральное. Разделить а на b с остатком - это зна­чит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что а = bq + r, причем 0 ≤ r <Ь.

Из этого определения следует, что делить с остатком можно не только большее число на меньшее, но и меньшее на большее. Например, при делении числа 5 на 9 получаем, что неполное частное равно 0, а остаток - 5: 5 = 0*9 + 5. Вообще если а < b, то при делении а на b с остатком получаем q = 0 и r - а.

Если при делении а на b с остатком оказывается, что r - 0, то говорят, что имеем деление нацело. Вообще r = 0 тогда и только тогда, когда а делится на b.

В связи с этим новым действием возникают вопросы: если заданы числа а и b, всегда ли можно найти такие q и r, что будет выполняться равенство а = bq + r и 0 ≤r<b? Если такая пара чисел q и r существует, то единственна ли она для заданных чисел а и b?. Ответ на эти вопросы дает следующая теорема.

Теорема 29. Для любого целого неотрицательного числа а и натурального b существуют целые неотрицательные числа q и r, такие, что а = bq + r, причем 0 ≤ r < b. И эта пара чисел q и r единственная для заданных а и b.

Доказательство существования. Обозначим через М множество целых неотрицательных чисел, кратных b и не превосходящих а:

М = {х|х = bу,х ≤ а}.

Так как для всех чисел из этого множества выполняется не­равенство x < а + 1, то в множестве М есть наибольшее число, которое обозначим через х₀. Это число имеет вид х₀ = bq, при­чем число b(q + 1) уже не принадлежит множеству М и поэтому b(q + 1) > а. Итак, найдено число q, такое, что bq≤a < bq + b. Из этих неравенств следует, что 0 ≤ а - bq < b. Если обозна­чить a-bq через r, то имеем a-bq-r, т.е. а = bq + r и 0 ≤ r < b. Это означает, что q - неполное частное, а r - остаток при де­лении а на b.

Доказательство единственности. Предположим, что а = bq + r, где 0≤r<b и a = bq₁, + r₁, где 0 ≤ r₁, < b, причем, например, r > r₁. Тогда имеем bq + r = bq₁, + r₁, и поэтому r-r₁ = bq, - bq = b(q₁ - q). Поскольку 0 ≤ r₁ < r < b, то r – r₁ < b. С другой стороны, r-r₁ = b(q₁-q) и потому делится на b. Пришли к противоречию, так как натуральное число, мень­шее, чем b, не может делиться на b. Это противоречие и доказывает, что другой пары чисел с требуемыми свойствами не существует, следовательно, деление с остатком однознач­но определено.

В любом начальном курсе математики изучается деление с остатком, так как оно лежит в основе алгоритма деления многозначного числа на многозначное. При этом часто ис­пользуется запись: 9:2 = 4 (ост. 1). Учащиеся запоминают, что если при делении получается остаток, то он всегда меньше делителя.

15 Вопрос

Простые числа играют большую роль в математике - по существу они являются «кирпичами», из которых строятся составные числа. Это утверждается в теореме, называемой основной теоремой арифметики натуральных чисел, которая приводится без доказательства:

Теорема. Любое составное число можно единственным об­разом представить в виде произведения простых множителей.

Например, запись 110 = 2*5*11 есть представление чис­ла 110 в виде произведения простых множителей или разло­жение его на простые множители.

Два разложения числа на простые множители считают одинаковыми, если они отличаются друг от друга лишь по­рядком множителей. Поэтому представление числа 110 в виде произведения 2*5*11 или произведения 5*2*11 есть, по сущест­ву, одно и то же разложение числа 110 на простые множители.

Раскладывая числа на простые множители, используют признаки делимости на 2, 3, 5 и др. Напомним один из спо­собов записи разложения чисел на простые множители. Раз­ложим, например, на множители число 90. Число 90 делится на 2. Значит, 2 есть один из простых множителей в разложе­нии числа 90. Разделим 90 на 2. Число 2 запишем справа от знака равенства, а частное 45 - под числом 90. Число 45 делим на простое число 3, получаем 15. Делим 15 на 3, получаем 5. Число 5 - простое, при делении его на 5 получаем 1. Разложе­ние на множители закончено.

90 = 2*3*3*5

45

15

5

1

При разложении числа на простые множители произведе­ние одинаковых множителей представляют в виде степени: 90 = 2-3²*5; 60 = 2²*3*5; 72 = 2³*3². Такое разложение числа на простые множители называют каноническим.