Вынужденные колебания. Колебательные системы

1.8. При какой скорости поезда тело массой т = 0,1 кг, подвешенное в вагоне на пружине жесткостью k = 10 Н/м, будет иметь максимальную амплитуду колебаний, если расстояния между стыками рельсов 12,5 м?

2.8. Математический маятник, состоящий из железного шарика массой m = 40 г, подвешенного на нити длиной l = 1м, совершает гармонические колебания. Если под шарик поместить магнит, то он будет притягивать шарик с постоянной вертикальной силой F = 0,24 Н. Определить период колебаний шарика в новом состоянии.

3.8. Некоторая резонансная кривая соответствует осцилля­тору с логарифмическим декрементом затухания  = 1,6. Найти для этой кривой отношение максимальной амплитуды смещения к амплитуде смещения при очень малой частоте.

4.8. Частица массы т находится в одномерном силовом поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты х как U (х) = U₀ (1 – cos ах), где U_o и а – постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.

5.8. Частица массы т находится в одномерном силовом поле, где ее потенциальная энергия имеет вид U(х) = а/х² – b/х, где а и b – положительные постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.

6.8. Найти период малых поперечных колебаний шарика массы т = 40 г, укрепленного на середине натянутой струны длины l = 1 м. Силу натяжения струны считать постоянной и равной F = 10 Н. Массой струны и силами тяжести пренебречь.

7.8. На гладкий горизонтальный стержень АВ надета небольшая муфточка массы т = 50 г, которая соединена с концом А стержня пружинкой жесткости k = 50 Н/м. Стержень вращают с постоянной угловой скоростью ₀ = 10 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. Найти частоту малых колебаний муфточки.

8.8. Доска с лежащим на ней бруском совершает горизонтальные гармонические колебаний с амплитудой А = 10 см. Найти коэффициент трения между доской и бруском, если последний начинает скользить по доске, когда ее период колебаний меньше Т = 1 с.

9.8. Доска, на которой лежит тело массы т, начинает двигаться вертикально вверх по закону у= А(1– cost), где у – смещение из начального положения  = 11 с^–1. Найти минимальную амплитуду колебания доски, при которой тело начнет отставать от нее.

10.8. Доска, на которой лежит тело массы т, начинает двигаться вертикально вверх по закону у= А(1– cost), где у – смещение из начального положения  = 11 с^–1. Найти амплитуду колебания доски, при которой тело подскочит на высоту h = 50 см относительно начального положения (в момент t = 0).

11.8. Брусок массы т, находящийся на гладкой горизонталь­ной поверхности, соединен со стенкой горизонтальной пружиной жесткости k и находится в покое. Начиная с некоторого момента на брусок начали действовать вдоль пружины постоянной силой F. Найти пройденный путь и время движения бруска до первой остановки.

12.8. На гладком горизонтальном столе лежат два одинаковых ку­бика массой т каждый. Кубики соединены недеформированной пружиной жесткостью k = 500 Н/м. Длина пружины в недеформированном состоянии l₀ = 20 см. На один из кубиков начинает действовать постоянная сила F = 10 Н, направленная вдоль пружины ко второму кубику. Найти минимальное и максимальное расстояния между кубиками при их движении.

13.8. Шарик массы т = 50 г подвешен на пружинке жесткости k = 20 Н/м. Под действием вынуждающей вертикальной гармонической силы с частотой  = 25 с^–1 шарик совершает установившиеся колебания. При этом смещение шарика отстает по фазе от вынуждающей силы на  =3/4. Найти добротность осциллятора.

14.8. Амплитуды смещений вынужденных гармонических колебаний при частотах ₁ = 400 с^–1 и ₂ = 600 с^–1 равны между собой. Найти частоту , при которой амплитуда смещения максимальна.

15.8. Оценить, через сколько времени установятся колебания в системе с добротностью Q = 10⁶ и собственной частотой ₀ = 5000 с^–1 при резонансном воздействии на эту систему вынуждающей гармонической силы.

16.8. Найти добротность осциллятора, у которого отношение резонансной частоты _р к частоте затухающих колебаний ₀ равно 0,97.

17.8. Найти разность фаз  между смещением и вынуждающей силой при резонансе смещения, если собственная частота ₀ = 50 c^–1 и коэффициент затухания  = 5,2 с^–1.

18.8. Собственная частота колебаний моста равна . С какой скоростью не следует идти по мосту, если длина Вашего шага l?

19.8. Частица колеблется по закону х = A cos (t – ) под действи­ем силы F= F₀ cos t. Какова средняя мощность этой силы?

20.8. Груз массой т = 0,1 кг, подвешенный на нити длиной l = 0,1м, совершает колебания в вертикальной плоскости, при которых угол отклонения груза от положения равновесия изменяется по закону  = 0,1 sin 50 t. Найти силу натяжения нити и линейную скорость в мо­мент прохождения грузом положения равновесия. Какова максималь­ная сила натяжения нити?

Волны

1.9. Найти смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии r = /12 для момента времени t = T/6. Амплитуда колебания 5 см.

2.9. Точка, находящаяся на расстоянии 4 см от источника колебаний, имеет в момент t = T/6 смещение, равное половине амплитуды. Найти длину волны колебания.

3.9. Найти скорость распространения звука в стали. Модуль Юнга для стали 21,610¹⁰ Н/м², плотность стали 7,810³ кг/м³.

4.9. При подвешивании груза массой 10 кг стальная струна длиной 2 м с площадью поперечного сечения 0,1 мм² удлиняется на 1 см. Плотность стали 7,810³ кг/м³. Какова скорость звука в стали?

5.9. По озеру идут волны длиной  = 10 м; мимо наблюдателя проходят два гребня в 1 с. Найти скорость распространения волны.

6.9. Частота ультразвуковых колебаний, применяемых для лечебных целей, находится в пределах от 500 КГц до 1 МГц. Определить интервал длин волн и соответствующие им периоды ультразвуковых колебаний, принимая скорость распространения звука в воздухе 300 м/с.

7.9. По морю распространяются со скоростью  = 5 м/с волны длиной  = 60 м. Каков будет период качки парохода, попавшего на эти волны?

8.9. Длина звуковой волны в воздухе для самого низкого мужского голоса ₁ = 4,3 м, а для самого высокого женского голоса ₂ = 25 см. Найти частоты колебаний этих голосов.

9.9. По поверхности воды в озере волна распространяется со ско­ростью 6 м/с. Каковы период и частота колебаний бакена, если дли­на волны  = 3 м?

10.9. Рыболов заметил, что за время t = 10 с поплавок совершил на волнах п = 20 колебаний, а расстояние между соседними гребнями волн  = 1,2 м. Какова скорость распространения волн?

11.9. Человек, стоящий на берегу моря, определил, что расстояние между следующими друг за другом гребнями 12 м. Кроме того, он подсчитал, что за t = 75 с мимо него прошло п = 16 волновых гребней. Определить скорость распространения волн.

12.9. Лодка качается на волнах, распространяющихся со скоро­стью 1,5 м/с. Расстояние между двумя ближайшими гребнями волн 6 м. Определить период колебаний лодки.

13.9. Найти разность фаз колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих на расстоянии 2 м друг от друга. Длина волны  = 1 м.

14.9. Звук распространяется в воде со скоростью 1450 м/с. Рас­стояние между ближайшими точками, в которых колебания частиц совершаются в противофазе, 0,1 м. Какова частота звука?

15.9. Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространя­ются волны со скоростью 50 м/с. Период колебаний 0,05 с, расстояние между точками 0,5 м. Найти разность фаз колебаний в этих точках.

16.9. Уравнение волны имеет вид х = sin 2,5t. Найти смещение от положения равновесия, скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии 20 м от источника колебаний, для момента времени t = 1 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний 100 м/с.

17.9. Определить максимальную и минимальную длины  звуковых волн, воспринимаемых человеком. Скорость звука  = 340 м/с, граничные частоты ₁ = 20 Гц и ₂ = 20 000 Гц.

18.9. Какую разность фаз будут иметь колебания двух точек, находящихся на расстоянии соответственно 10 м и 16 м от источника колебаний? Период колебаний 0,04 с и скорость распространения колебаний 300 м/с.

19.9. Звуковые колебания, имеющие частоту 500 Гц и амплитуду 0,25 мм, распространяются в воздухе. Длина волны 70 см. Найти: 1) скорость распространения колебаний; 2) максимальную скорость частиц воздуха.

20.9. От источника колебаний распространяются волны вдоль прямой линии. Амплитуда колебаний 10 см. Чему равно смещение точки, удаленной от источника на расстоянии 3/4 длины волны, в тот момент, когда от начала колебаний источника прошло время, равное 0,9 периода.