2.5. Адиабатический процесс

     В параграфе 1.4 было введено понятие адиабатически изолированной системы, то есть системы, которая не обменивается теплотой с окружающими телами. Процессы, происходящие в такой системе, называются адиабатическими. Так как при адиабатических процессах , то первое начало термодинамики для них можно записать в форме:

     

.

(2.74)

     Совместное применение этого выражения и уравнения Клапейрона-Менделеева позволяет получить уравнение, описывающее адиабатический процесс в идеальном газе. Для этого представим выражение (2.74) в виде:

     

.

(2.75)

     Нахождение полных дифференциалов от правой и левой частей уравнения Клапейрона-Менделеева (2.10) дает:

     

.

(2.76)

     Вычитание из этой формулы выражения (2.75) приводит его к виду

     

.

(2.77)

     С учетом соотношения Майера (2.70) имеем:

     

.

(2.78)

     Умножим выражение (2.75) на отношение теплоемкостей и сложим его с формулой(2.78). Тогда получим

     

,

(2.79)

     где введено обозначение

     

.

(2.80)

     Величина называетсяпоказателем адиабаты. Формулы (2.65) и (2.71) позволяют определить показатель адиабаты через количество степеней свободы :

     

.

(2.81)

     Из этого выражения следует, что показатель адиабаты для идеального газа всегда больше единицы. Для одноатомных газов этот показатель равен 1,67, а для двухатомных и многоатомных соответственно 1,4 и 1,33.

     Поделив уравнение (2.79) на произведение преобразуем его к виду

     

(2.82)

     или

     

.

(2.83)

     Отсюда следует:

     

.

(2.84)

     Интегрирование этого уравнения позволяет получить формулу

     

.

(2.85)

     которая называется уравнением Пуассона в честь французского механика, математика и физика Симеона Дени Пуассона (1781 - 1840). Это уравнение адиабатического процесса для идеального газа, или адиабаты - кривой, описываемой этим уравнением в переменных и.

     С помощью уравнения Клапейрона-Менделеева уравнение (2.85) можно переписать, используя другие параметры состояния идеального газа:

     

,

(2.86)

     

.

(2.87)

     Сравнивая уравнение Пуассона (2.85) с уравнением Бойля-Мариотта (2.11): , можно убедиться, что адиабата идеального газа, построенная в координатахи, всегда идёт круче изотермы (см. рис. 2.7).

Рис. 2.7. Графики адиабатических процессов (1) и изотермического процесса (2)

     Это связано с тем, что, как указывалось выше, показатель адиабаты для газов всегда больше единицы и принимает наибольшее значение для одноатомных газов. Поэтому самую крутую адиабату имеют инертные газы, молекулы которых состоят из одного атома.

     Поскольку адиабата пересекает все изотермы данной термодинамической системы, возможен адиабатический переход с одной изотермы на другую, путём сжатия или разрежения газа. А посредством изотермического изменения объёма возможен переход с одной адиабаты на другую.

     Работу идеального газа в адиабатическом процессе можно определить с помощью выражения (2.74). Интегрирование (см. комментарий к формулам (1.6) - (1.8)) этого выражения дает:

     

,

(2.88)

     где: и- температуры газа в начале и в конце процесса соответственно. В данном случае работа при переходе из одного состояния системы в другое определяется только функцией состояния системы, так как путь перехода однозначно задан уравнением Пуассона.

     Молярная теплоемкость газа может быть выражена через показатель адиабаты. Подстановка в формулу(2.80) соотношения Майера (2.70) приводит её к виду

     

,

(2.89)

     из которого следует искомое выражение:

     

.

(2.90)

     С учетом этой формулы выражение (2.88) может быть представлено в форме

     

.

(2.91)

     На основании уравнения адиабаты (2.86) запишем соотношение между температурами и объемами газа в начальном и конечном состояниях:

     

(2.92)

     или

     

.

(2.93)

     Подстановка этой формулы в выражение (2.91) дает

     

(2.94)

     или с учетом уравнения Клапейрона-Менделеева (2.10)

     

.

(2.95)

     Формула (2.95) может быть получена и непосредственно с помощью интеграла (1.13), при подстановке в него уравнения Пуассона (2.85), записанного для произвольной точки адиабаты

     

.

(2.96)

     Тогда имеем

     

.

(2.97)

     Адиабатический процесс может быть реализован в газе либо путём его термоизоляции, либо за счёт быстрого протекания процесса, когда процесс теплопередачи не успевает произойти. Первый способ применялся в опытах Джоуля, описанных выше, где было принципиально необходимо достижение газом состояния, близкого к равновесному. Поэтому каждый из опытов требовал продолжительного времени (около часа) и возникала необходимость введения поправок на тепловые потери.

     Примером быстропротекающего процесса является распространение звука в воздухе. Несмотря на то, что такой процесс нельзя считать равновесным, опыт показывает, что для его описания возможно применение уравнения Пуассона, полученного в рамках равновесной термодинамики.

     В 1816 году, за семь лет до вывода Пуассоном уравнения адиабатического процесса, Пьером Симоном Лапласом (1749 - 1827) была получена формула для скорости распространения звука в газе

     

,

(2.98)

     где: и- давление и плотность газа. Измерения значений,ипозволяют по этой формуле рассчитать значение показателя адиабаты. Для воздуха это значение близко к 1,4, что указывает на возможность с хорошей точностью считать его состоящим из двухатомных молекул.

     Экспериментальное определение молярных теплоёмкостей идля реальных газов представляет собой довольно сложную задачу. Большой вклад в её решение внёсАнри Виктор Реньо (1810 - 1878), под руководством которого были измерены молярные теплоёмкости многих веществ, в том числе газов. Исследования проводились в лаборатории при Сервской фарфоровой мануфактуре и носили прикладной характер, связанный с совершенствованием тепловых машин. Некоторыми из методик, разработанных Ренье, впоследствии воспользовался Джоуль при проведении своих опытов.

     В заключение рассмотрим вопрос о том, как соотносится уравнение Пуассона, записанное в переменных и(2.86), с результатами опытов Гей-Люссака, описанными в предыдущем параграфе. Действительно, в соответствии с результатами этих опытов температура идеального газа не изменяется при его расширении в жестком, адиабатически изолированном сосуде, а согласно уравнению (2.86) температура такого газа при адиабатическом процессе должна понижаться. Это кажущееся противоречие объясняется тем, что в соответствии со схемой опыта Гей-Люссака, показанной на рис. 2.5, идеальный газ при расширении не совершает механической работы над внешними телами: . Поэтому соотношение(2.74) сводится к тождеству: , и получение из него выражений(2.75) - (2.79) и далее формул (2.82) - (2.85) становится невозможным.

     Таким образом, уравнение Пуассона неприменимо для описания опытов Гей-Люссака. Это связано с тем, что процесс адиабатического расширения идеального газа без совершения механической работы является необратимым, в отличие от обратимого адиабатического расширения, описываемого уравнением Пуассона. Подробнее описание необратимого адиабатического расширения рассмотрено в параграфе 4.3.

     Задача 2.2. Внутри закрытого теплоизолированного цилиндрического сосуда находится теплонепроводящий поршень, который может двигаться без трения. В начальный момент поршень находится в середине сосуда и делит его на равные части объемом . В каждой из этих половин сосуда находится идеальный газ с показателем адиабаты при давлении . Какую работу надо совершить, чтобы уменьшить объём одной из половин в два раза?

     Решение: В обеих частях цилиндрического сосуда будет происходить адиабатический процесс

     

,

     где объёмы V₁ и V₂ двух частей сосуда связаны соотношением

     

.

     Пусть происходит уменьшение в два раза половины сосуда, описываемой объемом , то есть объем изменяется от до . Соответственно объем увеличивается от до . Тогда элементарная работа, совершаемая над газом, будет определяться разностью давлений в двух частях сосуда:

     

,

     где учтено, что .

     Подстановка в последнюю формулу первых двух соотношений и её интегрирование дает

     

     При это выражение равно нулю, в чем можно убедиться устремив к единице и раскрыв неопределенность. При это выражение становится положительным, так как при увеличении параметра второе слагаемое в этой формуле растёт быстрее, чем убывает первое.

     Задача 2.3. Адиабатически изолированный сосуд разделен перегородкой на две равные части, каждая объемом . В левой части находится двухатомный идеальный газ при давлении и температуре . Торцевая стенка правой части сосуда является поршнем. Перегородку вынули, а затем газ медленно сжали поршнем так, что он снова стал занимать левую половину сосуда. Найти давления , и температуры , газа после изъятия перегородки и в конце процесса.

     Решение: При адиабатическом расширении идеального газа без совершения работы над внешними телами, его внутренняя энергия и температура не изменяются. Поэтому после изъятия перегородки имеем:

     

,

     

.

     При адиабатическом сжатии газа поршнем увеличение его внутренней энергии равно работе, совершенной поршнем. Температура и давление газа в конце процесса могут быть найдены с помощью соотношений (2.86) и (2.85), из которых имеем:

     

,

     

.

     Отметим, что хотя протекающие процессы при расширении газа и его сжатии различные, уравнение состояния идеального газа применимо для описания конечного состояния газа для обоих этих случаев. Расширение газа после удаления перегородки будет необратимым, а его медленное сжатие поршнем - можно описывать как обратимый процесс. Возможность использования уравнения состояния идеального газа для описания конечного состояния необратимого процесса связано с предположением о том, что при достижении этого конечного состояния газ становится термодинамически равновесной системой.