2.6. Политропический процесс

     В параграфе 2.4 отмечалось, что важным классом термодинамических процессов являются процессы, происходящие при постоянной теплоемкости, то есть политропические процессы. К таким процессам, в частности, относятся адиабатический, изотермический, изобарический и изохорический процессы.

     Для идеального газа нетрудно получить уравнение политропического процесса тем же способом, которым ранее было выведено уравнение Пуассона. Пусть молярная теплоёмкость идеального газа в политропическом процессе равна . Тогда в соответствии с первым началом термодинамики(1.5) имеем выражение:

     

,

(2.99)

     из которого следует:

     

.

(2.100)

     Подставляя это выражение в формулу (2.76) получим

     

(2.101)

     или с учетом соотношения Майера (2.70)

     

.

(2.102)

     Сравнение формул (2.100) и (2.102) при условии, что , позволяет записать уравнение

     

,

(2.103)

     аналогичное уравнению (2.79). Здесь введен параметр

     

,

(2.104)

     который называется показателем политропы.

     Из этой формулы можно также получить зависимость молярной теплоемкости от показателя политропы:

     

.

(2.105)

     Преобразование формулы (2.103) к виду:

     

(2.106)

     и интегрирование полученного уравнения дает

     

.

(2.107)

     Уравнение (2.107) называется уравнением политропического процесса или политропы – кривой, описываемой таким уравнением в переменных и.

     Аналогично уравнениям адиабаты (2.86) и (2.87) уравнение политропы может быть переписано в других термодинамических координатах:

     

,

(2.108)

     

.

(2.109)

     При адиабатическом процессе , что соответствует нулевой теплоемкости. Подставивв формулу(2.104) и сравнив получившееся выражение с (2.80), имеем , и уравнение политропы(2.107) становится уравнением адиабаты: .

     Если процесс изотермический, то , так как при этом. В этом случае показатель политропыв пределе равен единице, и уравнение политропы(2.107) преобразуется в уравнение Бойля-Мариотта (2.11): . Обратим внимание на то, что поскольку при выводе уравнения политропы мы исключали величину, то этот вывод не может считаться полностью корректным для изотермического процесса.

     Для изобарического процесса при показатель политропы, и уравнение(2.107) принимает форму: .

     При изохорическом процессе должно стать равным, что соответствует случаю, когда показатель. Очевидно, переход в формуле(2.107) к указанному пределу некорректен. Это связано с тем, что при выводе уравнения политропы предполагалось, что (см. переход к формуле(2.103)).

     Если умножить уравнение (2.100) на величину и сложить его с уравнением(2.102), предварительно умноженным на величину , то получим уравнение политропы в дифференциальном виде

     

.

(2.110)

     При это уравнение приобретает форме:

     

(2.111)

     Отсюда имеем или. Из уравнения(2.110) также следует, что в процессе, при котором , давление постоянно:.

     Для политропических процессов значение теплоёмкости и, соответственно, показателя политропы могут принимать любые величины. Отрицательные значения теплоёмкости, когда показатель политропы принимает значения от единицы до величины g (см. формулу(2.105)), соответствуют таким условиям, при которых внутренняя энергия термодинамической системы убывает при передаче ей положительного количества теплоты. Это может быть осуществлено при принудительном расширении газа.

     В соответствии с формулой (2.100) при величиныиимеют различные знаки, и с ростом объёма газа его температура, а, следовательно, и внутренняя энергия, уменьшаются. С этим, в частности, связано понижение температуры идеального газа при его адиабатическом расширении, так как в этом процессе. Наоборот, прис ростом объёма газа его температура растёт. В соответствии с первым началом термодинамики этот рост должен быть обеспечен подводом к системе дополнительного количества теплоты.

     Рассуждая аналогичным образом, можно на основании формулы (2.102) установить связь между приращениями давления и температуры. При с ростом давления температура газа будет возрастать, а при- уменьшаться.

     Работа газа в политропическом процессе может быть определена с помощью интеграла (1.13) при подстановке в него уравнения политропы (2.107), аналогично тому, как это сделано в формуле (2.97):

     

.

(2.112)

     Интегрирование в выражении (2.112) дает формулу для определения работы в политропическом процессе

     

,

(2.113)

     где: и- начальные давление и объём газа,- его конечный объём.

     Из этой формулы, в частности, следует, что работа при расширении газа всегда остаётся положительной, независимо от того, какое значение принимает показатель политропы, больше или меньше единицы.

     Нетрудно видеть, что для адиабатического процесса при выражение(2.113) переходит в формулу (2.95). Для изобарического процесса, при , выражение(2.113) дает

     

,

(2.114)

     где учтено, что при этом процессе .

     Формула (2.113) неприменима для описания изохорического процесса, так как при выводе уравнения политропы (2.103) исключался случай . Но из формулы(2.100) очевидно, что работа газа в изохорическом процессе равна нулю.

     Другим процессом, не описывающимся соотношением (2.113), является изотермический процесс. Как было сказано выше, он является предельным случаем политропического процесса при . Работу в изотермическом процессе можно найти, если в формулу(2.112) в соответствии с законом Бойля-Мариотта подставить , а затем выполнить интегрирование. Тогда имеем

     

(2.115)

     или

     

,

(2.116)

     где учтено постоянство температуры в этом процессе: .

     Поскольку внутренняя энергия идеального газа не изменяется в изотермическом процессе, количество теплоты, полученное газом, также может быть рассчитано по этой формуле, то есть в этом процессе . При изотермическом расширении идеального газа работа совершается только за счёт теплоты, подведённой из окружающей среды.

     В заключение параграфа запишем все полученные формулы в единую таблицу 2.1.

     

Термодинамический процесс	Показательполитропы	Теплоемкость	Работа
Изотермический	1
Изобарический	0
Изохорический			0
Адиабатический		0

     Задача 2.4. Какова молярная теплоёмкость одноатомного газа и показатель политропы для процесса, в котором работа, совершаемая газом, в два раза превосходит количество теплоты, передаваемое ему?

     Решение: Так как по условию задачи , то в соответствии с первым началом термодинамики имеем:

     

     или

     

.

     Тогда, с учетом одноатомности газа (число степеней свободы ), молярную теплоемкость можно определить по формуле:

     

,

     а показатель политропы соответственно будет равен:

     

     Задача 2.5. Какая работа совершается одним молем идеального газа в политропическом процессе с показателем политропы при изменении температуры газа на ?

     Решение: Используя уравнение политропы (2.108): и уравнение Клапейрона-Менделеева для одного моля , перепишем (2.113) в виде:

     

.

     Отсюда имеем:

     

.

     Следовательно, работа, совершаемая одном молем идеального газа в процессе с постоянной теплоёмкостью, определяется только разностью температур конечного и начального состояний газа.

     Таким образом, для идеального газа работа, а, следовательно, и количество теплоты, в политропических процессах определяются только конечным и начальным состояниями системы, так как путь перехода из одного состояния в другое определён теплоёмкостью газа (показателем политропы). Однако даже при рассмотрении только политропических процессов, работу и количество теплоты нельзя считать функцией состояния системы, так как переход из одного состояния в другое может быть осуществлен последовательностью различных политропических процессов.

     Задача 2.6. Какое количество теплоты передано одноатомному газу в процессе, описанному в условии задачи 2.5?

     Решение: В соответствии с формулой (2.105) имеем:

     

.

     Тогда количество теплоты будет равно:

     

.

     Отсюда, в частности, следует, что при равенстве показателя политропы показателю адиабаты для одноатомного газа: , количество теплоты .