Производная обратной функции

Теорема.

Если – строго монотонная непрерывная функция и – обратная к ней функция, имеющая в точке у производную , то функция f имеет в соответст-вующей точке х производную

.

Доказательство.

, так как функция f(x) непрерывна, то при

и , тогда .

Примеры использования производной от обратной функции

1. Найти . Мы уже вывели эту формулу. Вывод был достаточно громоздкий.

Теперь: если , то , .

– результат тот же самый.

Если а=е, т.е. у=lnx, то .

Производные обратных тригонометрических функций

– строго возрастает на отрезке [1,1]. Напомню график

Обратная функция x=siny имеет производную , если .

Поэтому

Аналогично

Таким образом, у нас имеется таблица производных основных элементарных функций. Тем самым ясно, как вычислять производные элементарных функций, которые получают из основных элементарных путем конечного числа арифметических операций и взятия функции от функции.

Производная функции, заданной параметрически

Пусть х и у заданы как функции некоторого параметра t:

. (1)

Каждому значению t соответствуют значения х и у.

Если рассматривать эти значения x и y как координаты точки на плоскости xОy, то каждому значению t соответствует определенная точка плоскости. При изменении t от эта точка описывает на плоскости некоторую кривую.

Уравнения (1) называются параметрическими уравне-ниями этой кривой, t называется параметром, а способ задания кривой (1) –параметрическим.

Предположим, что функция имеет обратную, , тогда т.е. у является сложной функцией от х.

По правилу дифференцирования сложной функции

. Но по правилу дифференцирования обратной функции .

Эта формула называется формулой дифференцирования функции, заданной параметрически.

Пример:

2.5 Уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции

Рассмотрим кривую, уравнение которой .

Возьмем на этой кривой точку М . Уравнение любой прямой, проходящей через эту точку, имеет вид где k – ее угловой коэффициент.

Для касательной , поэтому уравнение касательной имеет вид

.

Прямая, проходящая через точку М перпенди-кулярно касательной, называется нормалью.

Для нее . Поэтому уравнение нормали к графику в точке М имеет вид ; здесь предполагается, что .

2.6. Производные высшего порядка. Формула Лейбница

Если найдена производная от функции f(x), т.е. вычислена – снова функция аргумента х. Можно еще раз найти производную от . Если эта производная существует, то она называется второй производной от f(x) и обозначается через или .

.

По индукции производная n-го порядка определяется как первая производная от производной (n–1) порядка

.

Пример 1.

Пусть , где m – целое число. Эта функция имеет производные любого порядка.

2. Пусть , где  произвольное (не целое) число. Тогда для x>0 эта функция имеет любую производную, вычисляемую по аналогичной формуле:

3.

4.

Формула Лейбница

Это формула дает возможность вычислить производную n-го порядка от произведения двух функций u(x)v(x).

Давайте найдем несколько первых производных и установим общий закон, пригодный для вычисления производной любого порядка.

Вспомним бином Ньютона:

Если в этой формуле заменить (соответственно считая, что ), то и получим формулу, которая носит название формулы Лейбница.

Производные различных порядков от неявных функций и функций, заданных параметрически

1. Сначала покажем способ нахождения производных различного порядка от неявных функций (на примере).

Пусть – неявная связь у и х (у не выражен явно через х).

Или (1)

Дифференцируем по х обе части равенства, имея в виду, что у есть функция х:

.

Отсюда: . Первая производная найдена, но выражена она и через х и через у.

Последнее равенство еще раз дифференцируем по х (имея опять в виду, что у=у(х)).

Подставляя вместо ее значение (зависящее от х и у), найдем

Из (1) заметим, что , так что

Дифференцируя по х полученное равенство, найдем и.т.д.

Производная второго порядка от функции, заданной параметрически

Мы знаем формулу для первой производной

Продифференцируем это равенство по х, имея в виду, что t – функция х.

Пример.