2.12.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
Предположим,
что функция f(x)
дифференцируема в любой точке интервала
(a,b).
Тогда в каждой точке имеется касательная
к графику, причем она не параллельна
оси Оy
(ибо ее угловой коэффициент
конечен).
Определение.
Будем говорить, что график функции y=f(x) имеет на интервале (a,b) выпуклость, направленную вниз (кривая вогнутая), если график в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной.
Если график лежит не выше любой своей касательной, будем говорить, что график имеет выпуклость, направленную вверх (кривая выпуклая).
П
римеры.
Вогнутая кривая Выпуклая кривая
(выпуклость направлена вниз) (выпуклость направлена
вверх)
Теорема.
Если функция y=f(x) имеет на интервале (a,b) конечную вторую производную и если эта производная не отрицательна (не положительна) всюду на этом интервале, то график функции y=f(x) имеет на интервале (a,b) выпуклость, направленную вниз (вверх).
Мнемоническое правило.
Если
в сосуд набирается вода, то «+»,
выпуклость направлена вниз. Если вода
не набирается,
то знак «–», выпуклость направлена
вверх.
Доказательство.
Для
определенности рассмотрим случай, когда
всюду
на (a,b).
Обозначим через c
любую точку интервала (a,b)
(см. рис.).
Требуется
доказать, что график функции f(x)
лежит не ниже касательной, проходящей
через точку
Запишем уравнение касательной, проходящей
через точку М:
(1)
Разложим f(x) в окрестности точки с по формуле Тейлора, взяв в этой формуле два члена (n=2):
(2)
Здесь
учтен остаточный член
в форме Лагранжа;
.
Поскольку по условию
существует всюду на (a,b),
формула (2) справедлива для любого
.
Вычитая из (2) (1), получим:
Поскольку
всюду на (a,b),
то
А это и означает, что график функции y=f(x) находится не ниже, чем касательная.
Аналогично
доказывается случай, когда
.
Итак, что же мы получили? Направление выпуклости графика функции полностью характеризуется знаком второй производной этой функции.
Таким образом, первая производная определяет, в каких точках имеется максимум или минимум и на каких интервалах функция возрастает или убывает, а вторая производная определяет те интервалы, на которых функция выпукла вверх или вниз.
Точки перегиба графика функции
Определение.
Точка
графика функции y=f(x)
называется точкой перегиба этого
графика, если существует такая окрестность
точки с,
в пределах которой график слева и справа
от точки с
имеет разные направления выпуклости.
Пример. Рассмотрим график y=sinx.
На
интервале
функция y=sinx
имеет выпуклость, направленную вниз,
на интервале
выпуклость направлена вверх, точка х=0
– точка перегиба графика.
Оказывается,
что для этого графика все точки
– точки перегиба.
Теорема (необходимые условия перегиба) (без доказательства).
Если
функция f(x)
имеет в точке с
вторую производную
и график этой функции имеет перегиб в
точке
Пример.
если x<0,
то
,
выпуклость графика направлена вверх.
Если x>0,
то
,
выпуклость направлена вниз. В точке х=0
имеется
перегиб графика, поэтому
Пример,
иллюстрирующий, что условие
не является достаточным
условием перегиба:
но перегиба нет, т.к.
при всех х.
График имеет вид:
В точке х=0
но
перегиба нет.
Поэтому надо иметь достаточный признак существования перегиба графика.
Теорема (достаточное условие перегиба).
Пусть
функция y=f(x)
имеет вторую производную в некоторой
окрестности точки с
и
Тогда, если в пределах указанной
окрестности вторая производная
имеет разные знаки слева и справа от c,
то график этой функции имеет перегиб в
точке c.
Теперь все встало на свои места: смена знака первой производной определяет наличие экстремума , а смена знака второй производной определяет наличие перегиба графика.