- •Предисловие
- •1. Введение в анализ
- •1.1. Основные элементарные функции
- •1.1.1. Некоторые множества вещественных чисел
- •1.1.4. Понятие о функции
- •1.2. Предел последовательности. Бесконечно малые и
- •1.2.1. Предел поcледовательности
- •1.2.2. Ограниченные и неограниченные последователь-
- •1.2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие последо-
- •1.2.5. Основные теоремы о пределах
- •1.2.6. Монотонные последовательности
- •1.2.7. Понятие о подпоследовательности числовой по-
- •1.2.8. Необходимое и достаточное условие сходимости
- •1.3. Функция. Предел функции. Непрерывность функции
- •1.3.1. Определение предела функции
- •1.3.2. Теорема (критерий Коши существования предела
- •1.3.3. Непрерывность функции в точке
- •1.3.4. Односторонние пределы
- •1.3.5. Свойства функций, непрерывных в точке
- •1.3.6. Два замечательных предела
- •1.3.7. Эквивалентные бесконечно малые функции и их
- •1.3.8. Монотонные функции. Теорема о существовании
- •1.3.9. Разрывы первого и второго рода
- •2.2. Основные правила и формулы дифференцирования
- •2.3. Дифференциал функции
- •2.4. Производная сложной функции, обратной функции, функции, заданной параметрически
- •Производная обратной функции
- •Производные обратных тригонометрических функций
- •Аналогично
- •2.5 Уравнения касательной и нормали к графику функ-
- •Рассмотрим кривую, уравнение которой .
- •2.6. Производные высшего порядка. Формула Лейбница
- •2.7. Возрастание и убывание функции в окрестности
- •Доказательство:
- •2.8. Поведение функции на отрезке. Теоремы о среднем
- •2.9. Критерии возрастания и убывания функции на ин-
- •2.10. Формула Тейлора Начнем с того, что выведем формулу Тейлора для многочлена
- •Формулы Тейлора для важнейших элементарных функций
- •2.11. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •Замечание 1.
- •2.12. Исследование функции одной переменной
- •2.12.1. Отыскание участков монотонности функции
- •2.12.2. Отыскание точек возможного экстремума
- •2.12.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
- •2.12.4. Асимптоты графика функции
- •2.12.5. Общая схема исследования функции и построения ее графика
- •Целесообразно провести следующие исследования:
- •2.13. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке
- •3. Функции нескольких переменных
- •3.1. Примеры функций нескольких переменных
- •3.2. Определение функции двух переменных. Область определения функции двух переменных
- •3.3. Геометрическое изображение функции двух переменных
- •3.4. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •3.5. Частные приращения и частные производные
- •3.6. Полное приращение и полный дифференциал. Использование дифференциала для приближенных вычислений
- •3.7. Сложная функция и ее полная производная
- •3.8. Производная неявно заданной функции
- •3.9. Частные производные высших порядков
- •3.10. Производная по направлению
- •Где и стремятся к нулю, если . Разделим все члены в (3.10.1) на :
- •То , тогда и
- •Аналогично производные и являются производными вдоль положительных направлений координатных осей и .
- •3.11. Градиент
- •3.12. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •3.13. Экстремум функции двух переменных
- •3.14. Условный экстремум функции многих переменных
- •Логинов Вениамин Анатольевич
- •Дифференциальное исчисление
- •Курс лекций по дисциплине «Математика» для студентов
- •Инженерных и экономических специальностей мгавт
- •117105, Г. Москва, Новоданиловская нанбережая, строение 2, корп. 1
3.8. Производная неявно заданной функции
Если неявная функция одной переменной задана уравнением
, (3.8.1)
то производная находится по известной формуле:
. (3.8.2)
Формула (3.8.2) носит название производной неявно заданной функции одной переменной.
По аналогии неявная функция двух переменных ( есть функция ) задается уравнением
.
Если теперь искать, например частную производную , то переменная считается постоянной и можно действовать по формуле (3.8.2). Тогда
. (3.8.3)
Аналогично
. (3.8.4)
Разумеется, в формулах (3.8.3) и (3.8.4) следует считать . Эти формулы обобщаются на любое число переменных.
Пример.
Неявная функция трех переменных задана соотношением
. Найти и .
Пусть . Тогда
.
3.9. Частные производные высших порядков
Пусть дана функция двух переменных z=f(x,y). Ее частные производные и , вообще говоря, являются функциями двух переменных х и у. Поэтому эти функции можно снова дифференцировать по х и у. Таких частных производных второго порядка всего четыре, т.к. каждую из производных и можно дифференцировать как по х, так и по у.
Эти производные обозначаются так:
– дифференцируем два раза подряд по х;
– сначала дифференцируем по х, затем по у;
– сначала дифференцируем по у, затем по х;
– два раза дифференцируем по у.
Можно продолжать этот процесс, дифференцируя вторые производные по х или у и получая третьи производные и т.д.
– частная производная n-го порядка, дифференцирование ведется сначала р раз по х, затем n–p раз по у.
Аналогично определяются производные любого порядка от функции любого числа переменных.
Пример. Вычислить производные 2-го порядка функции f(x,y)=х2у+у3.
В данном примере оказалось, что , т.е. смешанная производная по х и у оказалась не зависящей от порядка дифференцирования. Оказывается, что это совсем не случайно.
Теорема (без доказательства).
Если функция f(x,y) и ее частные производные до второго порядка включительно определены и непрерывны в окрестности точки (х,у), то в этой окрестности
.
Из этой теоремы следует, что смешанные частные производные второго порядка не зависят от порядка дифференцирования. Это свойство дифференцируемых функций следует иметь в виду при выполнении практических расчетов.
3.10. Производная по направлению
Пусть в пространственной области задана функция трех переменных . Выберем в этой области две точки: и (знаки приращений и могут быть произвольными) и проведем вектор (см. рис.).
Этот вектор является диагональю параллелепипеда со сторонами . Очевидно, его длина равна
.
Будем считать, что функция дифференцируема и запишем полное приращение при переходе от точки к точке в виде
, (3.10.1)