- •Предисловие
- •1. Введение в анализ
- •1.1. Основные элементарные функции
- •1.1.1. Некоторые множества вещественных чисел
- •1.1.4. Понятие о функции
- •1.2. Предел последовательности. Бесконечно малые и
- •1.2.1. Предел поcледовательности
- •1.2.2. Ограниченные и неограниченные последователь-
- •1.2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие последо-
- •1.2.5. Основные теоремы о пределах
- •1.2.6. Монотонные последовательности
- •1.2.7. Понятие о подпоследовательности числовой по-
- •1.2.8. Необходимое и достаточное условие сходимости
- •1.3. Функция. Предел функции. Непрерывность функции
- •1.3.1. Определение предела функции
- •1.3.2. Теорема (критерий Коши существования предела
- •1.3.3. Непрерывность функции в точке
- •1.3.4. Односторонние пределы
- •1.3.5. Свойства функций, непрерывных в точке
- •1.3.6. Два замечательных предела
- •1.3.7. Эквивалентные бесконечно малые функции и их
- •1.3.8. Монотонные функции. Теорема о существовании
- •1.3.9. Разрывы первого и второго рода
- •2.2. Основные правила и формулы дифференцирования
- •2.3. Дифференциал функции
- •2.4. Производная сложной функции, обратной функции, функции, заданной параметрически
- •Производная обратной функции
- •Производные обратных тригонометрических функций
- •Аналогично
- •2.5 Уравнения касательной и нормали к графику функ-
- •Рассмотрим кривую, уравнение которой .
- •2.6. Производные высшего порядка. Формула Лейбница
- •2.7. Возрастание и убывание функции в окрестности
- •Доказательство:
- •2.8. Поведение функции на отрезке. Теоремы о среднем
- •2.9. Критерии возрастания и убывания функции на ин-
- •2.10. Формула Тейлора Начнем с того, что выведем формулу Тейлора для многочлена
- •Формулы Тейлора для важнейших элементарных функций
- •2.11. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •Замечание 1.
- •2.12. Исследование функции одной переменной
- •2.12.1. Отыскание участков монотонности функции
- •2.12.2. Отыскание точек возможного экстремума
- •2.12.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
- •2.12.4. Асимптоты графика функции
- •2.12.5. Общая схема исследования функции и построения ее графика
- •Целесообразно провести следующие исследования:
- •2.13. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке
- •3. Функции нескольких переменных
- •3.1. Примеры функций нескольких переменных
- •3.2. Определение функции двух переменных. Область определения функции двух переменных
- •3.3. Геометрическое изображение функции двух переменных
- •3.4. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •3.5. Частные приращения и частные производные
- •3.6. Полное приращение и полный дифференциал. Использование дифференциала для приближенных вычислений
- •3.7. Сложная функция и ее полная производная
- •3.8. Производная неявно заданной функции
- •3.9. Частные производные высших порядков
- •3.10. Производная по направлению
- •Где и стремятся к нулю, если . Разделим все члены в (3.10.1) на :
- •То , тогда и
- •Аналогично производные и являются производными вдоль положительных направлений координатных осей и .
- •3.11. Градиент
- •3.12. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •3.13. Экстремум функции двух переменных
- •3.14. Условный экстремум функции многих переменных
- •Логинов Вениамин Анатольевич
- •Дифференциальное исчисление
- •Курс лекций по дисциплине «Математика» для студентов
- •Инженерных и экономических специальностей мгавт
- •117105, Г. Москва, Новоданиловская нанбережая, строение 2, корп. 1
1.1.4. Понятие о функции
Если каждому значению переменной x, принадлежащей некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y, то y есть функция от x. Символьная запись:
Определение.
Совокупность значений x, для которых определяются значения y в силу правила f(x), называется областью определения (ОДЗ аргумента функции). Обозначается .
– множество значений, которые принимает функция
Функцию можно задать:
таблицей:
x |
x1 |
x2 |
… |
xn |
y |
y1 |
y2 |
… |
yn |
Существуют, например, таблицы тригонометрических, логарифмических, показательных функций и т.д.
графически:
аналитически (формулой):
Теперь я напомню вам про основные элементарные функции, которые изучались в школьном курсе математики.
Степенная функция
Показательная функция
Логарифмическая функция
Тригонометрические функции
Обратные тригонометрические функции
Рассмотрим области определения и графики этих функций.
Степенная функция
целое положительное число.
Область определения:
Примеры:
(парабола)
y y
y
x
2. –целое отрицательное число. Область определения:
Если
а) Если q – нечетное, то область определения:
Примеры:
б) Если q – четное, то область определения:
Пример:
Если
а) Если q – нечетное, то область определения:
Примеры:
б) Если q – четное, то область определения: x>0.
Пример:
Если – положительное иррациональное число, то область определения
Примеры:
6. Если – отрицательное иррациональное число, то область определения x>0.
Пример:
Показательная функция . Напомню, что a>0,
Область определения:
а) 0<a<1 б) a>1
Логарифмическая функция
Область определения x>0.
а) a>1 б) 0<a<1
Тригонометрические функции
Аргумент x в тригонометрических функциях y=sinx, y=cosx и т.д. выражается в радианах. Углу в Все тригонометрические функции – периодические. Дадим общее определение периодической функции.
Определение.
Функция называется периодической, если существует такое постоянное число T, от прибавления (вычитания) которого к аргументу x значение функции не меняется: Наименьшее такое число называется периодом функции. Напомню, что период функций y=sinx и y=cosx y=tgx и y=ctgx
Функция y=sinx определена при всех x. Ее график имеет вид:
Функция y=cosx также определена при всех x, а график ее изображен ниже:
Функция y=tgx определена при всех x, кроме точек Z – множество всех целых чисел.
График имеет вид:
Функция y=ctgx определена при всех x, за исключением
График имеет вид:
Обратные тригонометрические функции
Функция y=arcsinx; область определения:
График имеет вид:
Значения функции заполняют отрезок
Функция y=arccosx; область определения:
График имеет вид:
Значения функции находятся на отрезке
Функция y=arctgx; область определения:
График имеет вид:
Значения функции заполняют интервал
Функция y=arcсtgx определена при всех x.
График имеет вид:
Значения функции находятся в интервале
Мы с вами рассмотрели основные элементарные функции. Все эти функции вы изучали в школе.
Кроме основных элементарных функций в математике имеется понятие об элементарных функциях. Прежде, чем мы с ним познакомимся, введем вначале понятие сложной функции.
Если y является функцией от u, , а u в свою очередь зависит от переменной x, , то y также зависит от x. Эта зависимость записывается так: ; y является сложной функцией от x.
Пример:
– сложная функция.
Операция “функция от функции” может производиться не один, а любое число раз. Например, функция получена в результате следующих операций:
Теперь дадим определение элементарной функции.
Определение.
Элементарной функцией называется функция, которая составлена из основных элементарных функций при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции. На основании этого определения ясно, что элементарные функции задаются аналитически.
Пример элементарной функции:
.