3.6. Полное приращение и полный дифференциал. Использование дифференциала для приближенных вычислений

Мы уже знаем, что полное приращение функции двух переменных z=f(x,y) записывается в виде:

z = f(х+х, у+у) – f(x,y).

Пусть в точке (х,у) существуют и непрерывны обе частные производные и . Перепишем z в виде

z = [f(x+x, y+y) – f(x, y+y)] + [f(x, y+y) – f(x,y)].

Применим теорему Лагранжа:

(х, х+х);

(у, у+у);

Заметим, что в силу непрерывности частных производных

Но это означает, что

где ₁0 и ₂0, если х0 и у0 (или если ).

Тогда полное приращение z можно записать в виде

(3.6.1)

Первые два члена в этой формуле – основные, а слагаемые ₁х и ₂у – бесконечные малые более высокого порядка, чем первые два члена.

Другими словами, можно дать следующее определение.

Определение. Функция z=f(x,y), полное приращение которой в данной точке (х,у) может быть представлено в виде (3.6.1), называется дифференцируемой в данной точке; линейная часть приращения называется полным дифференциалом:

dz=f '_x(x,y)x+f '_y(x,y)y.

Обычно обозначают х=dx, у=dy, а формула для полного дифференциала имеет вид

(3.6.2)

С точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно  можно записать приближенное равенство:

z  dz, (3.6.3)

которое используется для приближенных вычислений.

Примеры.

1. z=xy. Найти полный дифференциал и полное приращение в точке (2;3) при х=0,1, у=0,2.

z = (х + х)(у + у) – ху = ух + ху + ху;

z=0,72; dz=0,7.

2. Задача. Вычислить объем материала, нужно для изготовления цилиндрического стакана следующих размеров:

• радиус внутреннего цилиндра R;

• высота внутреннего цилиндра H;

• толщина стенок и дна стакана l.

Точное решение:

V=(R+l)²(H+l)–R²H=(2RHl+R²l+Hl²+2Rl²+l³). (*)

Приближенное решение:

f=R²H – объем внутреннего цилиндра. Это функция двух переменных R и Н. Если увеличить R и Н на l, то функция f получит приращение f. Тогда V=f.

Приближенно:

, ,

V  (2RHl + R²l). (**)

Сравнивая (*) и (**), замечаем, что эти выражения отличаются на величину (Hl²+2Rl²+l³), состоящую из членов второго и третьего порядка малости относительно l (естественно, мы должны считать l<<R, l<<H).

Числовой пример: R=4 см, Н=20 см, l=0,1 см.

V=17,881  –точное значение,

V17,6  – приближенное значение.

Ошибка .

3.7. Сложная функция и ее полная производная

Пусть

z=F(u,v), (3.7.1)

а u и v являются функциями независимых переменных х и у.

u=(x,y), v=(x,y). (3.7.2)

В этом случае z есть сложная функция х и у. Будем рассматривать вопрос о частных производных и . Дадим приращение х, не меняя у. Тогда u и v получат приращения _хu и _хv:

Здесь ₁ и ₂ – бесконечно малые при х0. Разделим последнее равенство на х и перейдем к пределу при х0:

(3.7.3)

Аналогично

(3.7.4)

(3.7.3) и (3.7.4) – формулы для частных производных сложной функции.

Пример.

z=ln(u²+v), ; v=x²+y. Найти и .

Тогда

Для случая большего числа переменных формулы (3.7.3) и (3.7.4) естественным образом обобщаются.

Рассмотрим следующий случай: дана функция z=F(x,y,u,v), где y,u,v зависят только от одной переменной х:

y=f(x), u=(x), v=(x).

В этом случае, по сути дела, z является функцией только одной переменной х и можно ставить вопрос о нахождении производной (в отличие от эта производная называется полной производной).

Очевидно

Но , а производные и являются по существу не частными, а полными производными, т.к. у, u и v зависят только от х:

(3.7.5)

Эта формула носит название формулы полной производной (в отличие от частной производной ).

Пример.

; у=sin x. Найти .