- •Предисловие
- •1. Введение в анализ
- •1.1. Основные элементарные функции
- •1.1.1. Некоторые множества вещественных чисел
- •1.1.4. Понятие о функции
- •1.2. Предел последовательности. Бесконечно малые и
- •1.2.1. Предел поcледовательности
- •1.2.2. Ограниченные и неограниченные последователь-
- •1.2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие последо-
- •1.2.5. Основные теоремы о пределах
- •1.2.6. Монотонные последовательности
- •1.2.7. Понятие о подпоследовательности числовой по-
- •1.2.8. Необходимое и достаточное условие сходимости
- •1.3. Функция. Предел функции. Непрерывность функции
- •1.3.1. Определение предела функции
- •1.3.2. Теорема (критерий Коши существования предела
- •1.3.3. Непрерывность функции в точке
- •1.3.4. Односторонние пределы
- •1.3.5. Свойства функций, непрерывных в точке
- •1.3.6. Два замечательных предела
- •1.3.7. Эквивалентные бесконечно малые функции и их
- •1.3.8. Монотонные функции. Теорема о существовании
- •1.3.9. Разрывы первого и второго рода
- •2.2. Основные правила и формулы дифференцирования
- •2.3. Дифференциал функции
- •2.4. Производная сложной функции, обратной функции, функции, заданной параметрически
- •Производная обратной функции
- •Производные обратных тригонометрических функций
- •Аналогично
- •2.5 Уравнения касательной и нормали к графику функ-
- •Рассмотрим кривую, уравнение которой .
- •2.6. Производные высшего порядка. Формула Лейбница
- •2.7. Возрастание и убывание функции в окрестности
- •Доказательство:
- •2.8. Поведение функции на отрезке. Теоремы о среднем
- •2.9. Критерии возрастания и убывания функции на ин-
- •2.10. Формула Тейлора Начнем с того, что выведем формулу Тейлора для многочлена
- •Формулы Тейлора для важнейших элементарных функций
- •2.11. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •Замечание 1.
- •2.12. Исследование функции одной переменной
- •2.12.1. Отыскание участков монотонности функции
- •2.12.2. Отыскание точек возможного экстремума
- •2.12.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
- •2.12.4. Асимптоты графика функции
- •2.12.5. Общая схема исследования функции и построения ее графика
- •Целесообразно провести следующие исследования:
- •2.13. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке
- •3. Функции нескольких переменных
- •3.1. Примеры функций нескольких переменных
- •3.2. Определение функции двух переменных. Область определения функции двух переменных
- •3.3. Геометрическое изображение функции двух переменных
- •3.4. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •3.5. Частные приращения и частные производные
- •3.6. Полное приращение и полный дифференциал. Использование дифференциала для приближенных вычислений
- •3.7. Сложная функция и ее полная производная
- •3.8. Производная неявно заданной функции
- •3.9. Частные производные высших порядков
- •3.10. Производная по направлению
- •Где и стремятся к нулю, если . Разделим все члены в (3.10.1) на :
- •То , тогда и
- •Аналогично производные и являются производными вдоль положительных направлений координатных осей и .
- •3.11. Градиент
- •3.12. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •3.13. Экстремум функции двух переменных
- •3.14. Условный экстремум функции многих переменных
- •Логинов Вениамин Анатольевич
- •Дифференциальное исчисление
- •Курс лекций по дисциплине «Математика» для студентов
- •Инженерных и экономических специальностей мгавт
- •117105, Г. Москва, Новоданиловская нанбережая, строение 2, корп. 1
1.2. Предел последовательности. Бесконечно малые и
бесконечно большие последовательности.
Основные теоремы о пределах
1.2.1. Предел поcледовательности
Определение.
Если каждому числу n натурального ряда чисел 1,2, …, n, … ставится в соответствие по определенному закону некоторое действительное число xn, то множество занумерованных чисел x1, x2, …, xn, … будем называть последовательностью. Числа xn называются членами или элементами последовательности.
Примеры вам хорошо известны:
– арифметическая последовательность;
– геометрическая последовательность.
Примеры других последовательностей:
Обычно последовательности обозначают символом и т.д.
Понятие предела последовательности связано с поведением последовательности при
Определение.
Число A называется пределом последовательности найдется такой номер , что для всех натуральных n>N выполняется неравенство
При этом записывают:
Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся, в противном случае ее называют расходящейся.
Отметим следующие два обстоятельства:
Неравенство означает, что Таким образом, если последовательность сходится, то при любом начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся внутри –окрестно-сти точки А;
Номер, начиная с которого все члены попадают в , зависит от выбранного значения
Примеры:
Рассмотрим последовательность .
Покажем, что число 0 является пределом этой последовательности, т.е. что В соответствии с определением предела это означает, что для любого необходимо найти , так чтобы при n>N , т.е.
Пусть . Тогда все члены, начиная с 101-го будут меньше, чем 0,01. Почему? Потому что при n 101 и т.д. Действительно, все члены, начиная со 101, оказываются меньше, чем 0,01. Как это выглядит геометрически?
В интервал (0; 0,01) попадает бесконечное число членов последовательности, причем ни один из них из этого интервала не выходит.
Пусть Тогда и картина будет такая:
Начиная с номера 1001, все члены последовательности попадают в интервал (0; 0,001).
А если Тогда поступим так: поскольку может оказаться числом не целым, то положим (дробная часть отброшена). Тогда при все члены последовательности находятся в интервале
Таким образом, мы показали, что, выбирая , получаем, что для всех т.е. число 0 является пределом нашей последовательности и мы можем записать:
.
В приведенном примере все члены нашей последовательности оказываются больше, чем предел и стремятся к нему при , приближаясь справа. Но это совсем не обязательно.
Пусть т.е. имеем последовательность .
При этом также. Но как ведут себя члены последовательности?
Члены последовательности “сгущаются” около 0, оказываясь попеременно то справа, то слева от предельного значения. Но если взять любую - окрестность точки 0 (а именно это утверждается в определении предела), то для все члены последовательности оказываются в этой - окрестности нуля.
Приведу примеры расходящихся последовательностей:
a) ; 1, 2, ….
Ни к какому конечному числу эта последовательность не стремится.
б) 0, 2, 0, 2,0, 2, … .
Казалось бы, в точках 0 и 2 имеются “сгущения”, но в любую - окрестность этих точек все члены, начиная с некоторого номера N, не попадают. Последовательность расходится.
Из приведенных примеров ясно, что можно привести другие определения предела последовательности. Дадим еще два определения.
Определение 2.
Число А называется пределом последовательности найдется такое число N, что все точки xn с индексами n > N попадают в - окрестность точки A.
Определение 3.
Число А называется пределом последовательности , если вне любой окрестности числа А имеется конечное или пустое множество точек xn.
Все три определения равноценны.