3.12. Формула Тейлора для функции двух переменных
Формула
Тейлора для функции одной переменной
выглядит следующим образом:
.
Здесь
– дифференциал первого порядка;
– дифференциал
второго порядка;
– дифференциал
-го
порядка;
–
остаточный член.
Формула
Тейлора позволяет вычислить функцию
в окрестности точки
,
если в этой точке известны функция и ее
производных.
Аналогичная
формула имеет место для функции двух
переменных и вообще для функции многих
переменных. В частности, если
– функция двух переменных, непрерывная
вместе со своими
частными производными по
и
в некоторой области, содержащей точки
и
,
то имеет место следующая формула Тейлора:
.
Здесь
– полный дифференциал
-го
порядка функции двух переменных.
Выпишем
эти дифференциалы при
и
.
,
где
.
Таким образом,
– обычный полный дифференциал первого
порядка. При
имеем
.
Упражнение. Выписать самостоятельно полный дифференциал третьего порядка функции двух переменных.
Замечание.
Если
,
то формула Тейлора носит название
формулы Маклорена.
Пример 1.
Разложить
функцию
по формуле Тейлора в окрестности точки
.
Сначала найдем частные производные:
.
Все остальные производные равны нулю, так что формула Тейлора имеет ограниченное число членов.
Найдем функцию и ее частные производные в точке .
;
вторые частные производные равны константам, которые мы уже вычислили. Таким образом,
.
Пример 2.
Используя
формулу Тейлора до членов второго
порядка включительно, вычислить
приближенно значение
.
Пусть
.
Тогда
.
Таким образом,
.
3.13. Экстремум функции двух переменных
Определение 1. Функция z=f(x,y) имеет максимум в точке M0(x0,y0), если f(x0,y0)>f(x,y) для всех точек (х,у), достаточно близких к точке (х0,у0) и отличных от нее.
Определение 2. Функция z=f(x,y) имеет минимум в точке M0(x0,y0), если f(x0,y0)<f(x,y) для всех точек (х,у), достаточно близких к точке (х0,у0) и отличных от нее.
Как обычно, точки максимума и минимума называют точками экстремума.
Пример. Рассмотрим функцию z=(x–a)2+(y–b)2+1.
Очевидно, при х=а и у=b, z=1. Но если ха, уb, то
(x–a)2+(y–b)2>0, поэтому в любой точке, отличной от М(а,b), z>1. Следовательно, в точке М(а,b) функция имеет минимум, т.к. z(a,b)<z(x,y).
Можно дать немного другие определения. Пусть
f = f(x, y) – f(x0, y0) = f(x0 + x, y0 + y) – f(x0, y0).
Определение. Если f>0 (f<0) при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то функция f(x,y) достигает в точке М(х0,у0) минимума (максимума).
Все приведенные формулировки переносятся на функции любого числа переменных.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума).
Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при х=х0, у=у0, то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в ноль, или не существует при х=х0, у=у0.
Доказательство очевидно, привести его самостоятельно.
Замечание.
Условия
являются необходимыми, но не достаточными.
Может оказаться, что оба эти условия
выполнены, а экстремума нет.
Пример. z=x2–y2.
В точке х0=0, у0=0 обе частные производные равны нулю, но ни максимума, ни минимума нет (см. рис.).
х0=0,
у0=0
– "седловая точка".
Теорема 2 (достаточное условие экстремума).
Пусть в некоторой области, содержащей точку М0(х0,у0) функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно; пусть, кроме того, точка М0(х0,у0) является критической точкой, т.е.
Тогда при х=х0, у=у0:
1) f(x,y) имеет максимум, если
и
2) f(x,y) имеет минимум, если
и
3) f(x,y) не имеет ни максимума, ни минимума, если
4)
если же
,
то экстремум может быть, а может его и
не быть (требуется дополнительное
исследование).
Теорема 2 дается без доказательства.
Пример. Исследовать на максимум и минимум функцию z=x3+y3–3xy.
Сначала находим критические точки:
.
Решим уравнение x4=x:
x4–x=0, x(x3–1)=0, x(x–1)(x2+x+1)=0, x1=0, x2=1.
Тогда у1=0, у2=1. Таким образом, мы нашли две критические точки: (0;0) и (1;1).
Найдем производные второго порядка:
Исследуем характер точки (0;0):
ac – b2 = 0 0 – 9 = –9 < 0.
В этой точке экстремума нет.
Исследуем характер второй точки (1;1):
b=–3;
ac – b2 = 6 6 – 9 = 27 > 0; a > 0.
В точке (1;1) функция имеет минимум, zmin=z(1;1)=–1.