5. Колебательное звено.

Математической моделью колебательного звена является линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

, (3.7)

при условии .

Колебательные процессы характеризуются двумя важными параметрами: коэффициентом затухания  и резонансной частотой ω₀ . Они выражаются через постоянные времени уравнения (3.7):  = Т₀ / 2Т , ω₀ = 1 / Т . Если ввести  в уравнение (3.7) , оно получает вид, более удобный для исследования колебательного процесса:

2  Т + y = kx . (3.8)

Условие Т₀² < 4Т ² заменяется условием ² < 1 .

Получим описание колебательного звена.

Дифференциальному уравнению (3.8) соответствует операторное уравнение

(T²p² + 2  Tp + 1) Y(p) = kX(p) ,

из которого получается передаточная функция

.

Если выходная величина не изменяется (dy/dt = 0, p = 0) передаточная функция вырождается в коэффициент усиления: К(0) = k.

Комплексная частотная характеристика звена

.

Действительная и мнимая частотные характеристики имеют вид:

,

.

Амплитудная частотная характеристика колебательного звена

.

У колебательного звена кривая A() имеет пик, вершина которого отвечает частоте ₀ = 1/T (рис. 3.5). То есть резонансной частоте. Максимальная величина амплитуды равна k / 2 . Пик выше, если больше коэффициент усиления и меньше коэффициент затухания.

Фазовая частотная характеристика в интервале изменения частоты от  = 0 до  = 1/T рассчитывается по формуле

.

П

2

2

1

ξ

2

)

(











T

T

arctg









ри  = 0 () = 0. Значению ₀ = 1/T соответствует запаздывание –90  . С увеличением  запаздывание увеличивается и расчет надо вести по формуле .

Характер кривых показан на рис. 3.6.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика имеет вид:

L() = 20 lg k – 10 lg (1-T²²)² + 4 ²T²² .

Форма этой кривой зависит от коэффициента затухания  . В интервале 0,3    1 приемлемо асимптотическое представление. В области   1 L₁ = 20lgk. В области   1 L₂ = 20lg (k/T²) – 40 lg . Условие сопряжения прямых ₀ = 1/T, т.е. на резонансной частоте. Пересечение прямой L₂ c осью абсцисс при  = /T. Расположение асимптотических прямых показано на рис. 3.7.

В случае   0,3 нужно пользоваться точной лачх из-за возрастания амплитуды в окрестности резонансной частоты.

Переходная функция есть решение уравнения (3.8) при x = 1:

,

где ₀ = 1 / T , .

Переходная функция описывает затухающие колебания. Колебания затухают тем медленнее, чем меньше  . При  = 0 колебания совершаются с постоянной амплитудой, т.е. становятся гармоническими. Звено, реализующее гармонические колебания называют консервативным.

Рис. 3.5. Зависимость амплитуды от частоты. 1 –  = 0,20,

2 –  = 0,5, 3 –  = 0,75

Рис. 3.6. Фазовая частотная характеристика колебательного звена.

1 –  = 0,2, 2 –  = 0,4, 3 – = 0,8

Рис. 3.7. Асимптотическая ЛАЧХ в интервале 0,3 <  < 1.