4.2.8. Передаточные функции системы с перекрестными связями

Рассмотрим систему, имеющую два входных сигнала Х₁(р) и Х₁(р) и два выходных, Y₁(р) и Y₂(р). Каждый из входных сигналов влияет на оба выходных.

Структурная схема системы показана на рис. 4.7 .

X₁ X₃ Y₁

W_a

W_d X₅

Y

W_b X₆

X₂

X₄

Y₂

W_c

Рис. 4.7. Структурная схема

системы с перекрестными связями.

Методом обратного движения устанавливаем:

,

.

Полученные уравнения показывают, по какому закону формируются выходные величины.

Объединив выходные сигналы посредством сумматора (на рис. 4.7 показано штриховыми линиями), получим:

. То есть,

.

Передаточная функция для сигнала X₁

,

для сигнала X₂

.

Один из сигналов может быть управляющим, другой - возмущением.

4.3. Статические и астатические системы

Система, в структуре которой нет последовательно присоединенного интегрирующего звена, называется статической. Примером может служить последовательное соединение звеньев с передаточными функциями

, , .

Передаточная функция системы имеет вид

.

Система, в структуре которой есть последовательно присоединенное интегрирующее звено, называется астатической.

Если к трем предыдущим присоединить последовательно интегрирующее звено с передаточной функцией k₁/T₁p , получится передаточная функция

.

В знаменателе появился множитель: комплексная переменная p. Последовательное присоединение еще одного интегрирующего звена даст множитель p². Говорят, в первом случае система обладает астатизмом первой степени, во втором – второй степени. В общем случае – астатизмом степени n.

Т.о. по тому, нет или есть в знаменателе передаточной функции множитель pⁿ, системы делятся на два класса: статические и астатические.

В статической системе при постоянном входном воздействии выходная величина со временем становится постоянной, принимая значение, отличное от первоначального.

В астатической системе при постоянном входном воздействии выходная величина непрерывно изменяется.

П

ример 4.10.

Наиболее простым астатическим звеном является интегрирующее, у которого

.

Показать, что при постоянном входном воздействии выходная величина должна неограниченно возрастать.

Записываем операторное уравнение

,

вводим условие ступенчатого воздействия X(p) = 1 / p и получаем изображение переходной функции

.

В таблице изображений по Лапласу дроби 1 / p² соответствует оригинал t . Значит, переходной функцией будет

.

Зависимость линейная, при t   h(t) неограниченно возрастает.

П

ример 4.11.

Можно ли получить астатическую систему, охватив интегрирующее звено жесткой обратной связью?

Записывая передаточные функции звеньев в виде

и

получаем передаточную функцию системы

.

Вводя новые постоянные: T = T₁ / k₁k₂ и 1 / k₂ = k убеждаемся, что система имеет свойства инерционного звена:

.

То есть, система статическая. Однако, нетрудно убедиться, что при мягкой обратной связи система будет астатической.