Интегральные оценки качества. Первая интегральная оценка:

. (6.8)

Чем меньше интеграл, тем выше качество регулирования.

Однако, в случае колебательного переходного процесса интеграл (6.8) представляет собой алгебраическую сумму площадей, ограниченных кривой переходного процесса h(t) и прямой h = h(∞) . Отдельные площади суммируются с разными знаками. Интеграл получается минимальным при неудовлетворительном переходном процессе, рис. 6.9 . Интеграл (6.8) дает правильное представление о переходном процессе только в случае монотонного хода кривой (например, как на рис. 6.3).

Рис. 6.9. Площади, которые учитывает интеграл (6.8) .

Вторая интегральная оценка:

. (6.9)

(Интегральная квадратичная ошибка регулирования).

Интеграл (6.9) тоже суммирует площади , расположенные над и под абсциссой h = h(∞) . Но в силу квадратичности функции, все слагаемые положительные.

Чем меньше интеграл J₂ , тем выше качество регулирования.

Преимущество интегральной оценки J₂ в том, что она применима к колебательным процессам.

Третья интегральная оценка учитывает плавность протекания процесса.

. (6.10)

τ – постоянная, имеющая размерность времени. Плавность измерения регулируемого параметра достигается за счет производной dy/dt.

Третья интегральная оценка применима для характеристики как монотонного, так и колебательного процесса. Неудобство применения оценки (6.10) в том, что должно быть заранее известна постоянная τ.

6.3. Чувствительность к изменению

параметров

Объект управления подвержен влиянию окружающей среды, старению, отсутствию точной информации о его параметрах. В процессе регулирования эти факторы приводят к отклонению выходной величины от желаемого значения. Поэтому чувствительность системы управления к изменению параметров играет важную роль.

Параметры системы содержатся в W(p) и K_ос(p) . В случае замкнутой системы, если W(p) K_ос(p) > 1 на порядок, имеем:

. (6.11)

Следовательно, на регулируемую величину влияет только передаточная функция канала обратной связи K_ос(p) , которая может быть и константой. Когда K_ос(p) = 1 , выходная величина в точности равна заданной. Это идеальный случай. Усиление неравенства W(p) K_ос(p) > 1 делает систему сильно колебательной и даже может привести к потере устойчивости. Однако, увеличением W(p) K_ос(p) до определенного предела, можно снизить влияние изменения параметров на управление. Это – одно из преимуществ систем с обратной связью.

Пусть изменение параметров объекта вызвало изменение передаточной функции объекта на величину ΔW(p) . Передаточная функция стала равной W₀ + ΔW(p) . Соответствующее изменение выходной величины обозначим как Y₀(p) + ΔY(p) .

В разомкнутой системе изменение выходной величины будет пропорционально изменению передаточной функции объекта:

.

В замкнутой системе будет по-другому. Запишем операторное уравнение для объекта управления:

,

где W₀(p) – передаточная функция объекта до изменения параметров, К_ос(р) – передаточная функция звена обратной связи. Заменяя

,

перенеся его в правую часть и приведя дроби к общему знаменателю, получим:

Если W₀ K_oc > ΔW K_oc на порядок, как это часто имеет место, то

(6.12)

Таким образом в замкнутой системе изменение регулируемой величины, вызванное изменением параметров системы, уменьшается в раз.

Чувствительность системы S определяется как отношение относительного изменения передаточной функции замкнутой системы к относительному изменению передаточной функции объекта:

.

Переходя к пределу, получаем:

. (6.13)

Сравним чувствительности замкнутой и разомкнутой систем. Замкнутая система имеет передаточную функцию

.

Чувствительность замкнутой системы к изменению передаточной функции объекта равна

. (6.14)

Чувствительность разомкнутой системы

.

Сравнение показывает, что чувствительность замкнутой системы меньше чувствительности разомкнутой системы, так как величина 1 + W(p) K_ос(p) >> 1.

Чувствительность замкнутой системы к изменению передаточной функции звена обратной связи К_ос(р) равна

.

Если произведение WK достаточно велико, чувствительность становится равной единице. Система реагирует на изменение параметров звена обратной связи как будто она разомкнутая, то есть изменения передаточной функции K_oc непосредственно сказываются на выходной величине. Отсюда практический вывод: звено обратной связи должно обладать стабильными характеристиками, не зависящими от внешних факторов.

Чувствительность можно определять по отношению к одному из параметров передаточной функции объекта. Пусть параметром, подверженным влиянию внешних факторов, будет λ (это Т или К , или что-то другое) .

Пример 6.3.

Передаточная функция разомкнутой системы

W = k₁

Выяснить, во сколько раз понизится чувствительность замкну той системы по сравнению с разомкнутой системой, если включить жесткую обратную связь с коэффициентом усиления k₂ ?

Сделать оценку для k₁ = 100, k₂ = 10 .

Чувствительность разомкнутой системы

.

Замкнутая система имеет передаточную функцию . По условию задачи, К_ос = k₂ . Чувствительность замкнутой системы, следовательно,

.

Сразу видно, что если k₁ k₂ велико, мало. Для заданных k₁ и k₂

.

То есть в 1000 раз меньше, чем чувствительность разомкнутой системы.