3.7. Апериодическое звено второго порядка.

Оно описывается тем же дифференциальным уравнением (3.7.), что и колебательное звено, но при условии Т₀ > 2T . Корни характеристического уравнения становятся действительными , звено перестает быть колебательным и превращается в апериодическое.

Операторное уравнение

(T²p² + T₀ p +1)Y(p) = kX(p) .

Передаточная функция

.

При отсутствии изменения выходной величины (p = 0) K(p) = k, коэффициенту усиления.

Комплексная частотная характеристика

.

Действительная и мнимая частотные характеристики

,

.

Амплитуда

Последнее выражение показывает, что амплитудная частотная характеристика резко отличается от таковой для колебательного звена, рис. 3.8. При  = 0 значение амплитуды равно k . С увеличением

А()

k

0 

Рис. 3.8. Амплитудная частотная характеристика

апериодического звена второго порядка.

частоты амплитуда уменьшается до нуля. То есть, это монотонная кривая.

Аналогично колебательному звену, фазовая частотная характеристика в интервале 0    1 / T рассчитывается по формуле

В интервале 1 / T     используется формула

Для апериодического звена асимптотическая логарифмическая амплитудная частотная характеристика получается такой же, как на рис. 3.7.

Переходная функция получается решением уравнения (3.7) при условии x = 1,

и начальных условиях h = 0, dh/dt = 0 при t = 0.

Характеристическое уравнение

T²p² + T₀ p +1 = 0

имеет действительные корни

.

Они действительные и отрицательные так как в силу условия апериодичности звена T₀ > 2T.

Переходная функция получается в виде:

.

При t = 0 h(t) = 0. С увеличением t кривая монотонно стремится к пределу h = k.

Апериодическое звено второго порядка можно назвать типовым условно, потому что такая же математическая модель реализуется двумя инерционными звеньями, соединенными последовательно, рис. 3.9.

A

Б

x(t) x₁(t) y(t)

Рис. 3.9. Два последовательно соединенных

инерционных звена

Чтобы показать это достаточно, исходя из дифференциальных уравнений звеньев А и Б, получить дифференциальное уравнение (3.7.). Пусть уравнения звеньев имеют вид

А

Б

, .

Выделим из уравнения звена Б x₁ , продифференцируем по t и заменим соответствующие величины в уравнении А. Это приводит к выражению

где x, y - входная и выходная величина системы из двух инерционных звеньев. Обозначая T₁T₂ = T², T₁ + T₂ = T₀, k₁k₂ = k, получаем уравнение (3.7):

.

3.8. Классификация типовых звеньев.

Типовые звенья классифицируется по виду передаточных функций.

1. Устойчивые звенья. Передаточные функции имеют сомножители:

k; pⁿ; ; Tp + 1; T²p²+1;

T²p² + T₀p + 1;

2. Неустойчивые звенья. Передаточные функции имеют сомножители:

Tp – 1; T²p² – 1; T² p² – T₀p +1;

T²p² + T₀p – 1; .

3. Запаздывающие звенья. Передаточные функции имеют сомножители:

; .

4. Трансцендентное звено. Передаточная функция

.