Задачи Статически определимые и статически неопределимые фермы

2.3.1. В скольких шарнирах нужно соединить 29 стержней, чтобы по­строенная с их помощью конструкция была плоской, статически определимой фермой? (16)

2.3.2. Которая из изображенных ферм является статически определимой? (2)

2 .3.3. Которая из изображенных ферм является статически определимой? (1)

2.3.4. Которая из изображенных ферм является статически определимой? (3)

2.3.5. Которая из изображенных ферм является

с татически неопределимой? (3)

2.3.6. Которая из изображенных ферм является статически неопределимой? (2)

2.3.7. Который стержень фермы не нагружен? (5)

2.3.8. Который стержень фермы не нагружен? (7)

2.3.9. Который стержень фермы не нагружен? (5)

Способ вырезания узлов

2.3.10. Каким может быть максимальное число неизвестных реакций связей, приложенных к вырезаемому узлу плоской фермы, при определении усилий в стержнях фермы способом вырезания узлов? (2)

2 .3.11. Определить усилие в стержне АВ (рис. 303). Сила F = 600 Н. (849)

Рис. 303 Рис. 304 Рис. 305

2.3.12. Ферма состоит из стержней одинаковой длины (рис. 304). Определить усилие в стержне АВ. Силы F₁ = 100 H, F₂ = 200H. (-115)

2.3.13. Определить усилие в стержне АВ (рис. 305), если l = 0,4 м. Сила F=30 Н.

(-21,2)

2.4. Пространственная система сил

Произвольная система сил может быть в общем слу­чае приведена к одной силе (главному вектору), равной сумме всех сил и приложенной в произвольном центре приведения О, и к одной паре, момент которой , называемый главным моментом, равен сумме моментов всех сил системы относительно этого центра:

; . (66)

При изменении центра приведения главный вектор сохраняет свой модуль и направление (первый инвариант), главный же момент изменяется, но так, что скалярное

произведение сохраняет одно и то же значение для всех точек приведения (второй инвариант).

Частные случаи;

1. Система приводится к равнодействующей, если , или

2. Система приводится к паре сил, если ,

3. Система приводится к динамическому винту, если , и эти векторы не перпендикулярны друг другу. При аналитическом задании сил ось динамы имеет уравнения

: (67)

где параметр динамического винта.

4. Система находится в равновесии, если , , . Таким образом, для равновесия произвольной про­странственной системы, сил необходимо и достаточно, чтобы для какого-либо центра приведения О главный вектор и главный момент были равны нулю.

Эти условия аналитически выражаются шестью урав­нениями:

(68)

Если на тело действует пространственная система параллельных сил, то, направив ось Оz параллельно этим силам, получим следующие три уравнения равновесия:

. (69)

Для нахождения момента силы относительно оси сле­дует спроектировать силу на плоскость, перпендикулярную оси, после чего найти алгебраический момент полученной проекции относительно точки пересечения оси и проведен­ной плоскости. Момент силы относительно оси считается положительным, если при наблюдении с положительного конца оси кажется, что сила стремится повернуть тело против движения часовой стрелки.

Если сила параллельна оси или ее линия действия пересекает ось, то момент силы относительно оси равен нулю.

Значительно облегчает нахождение момента силы отно­сительно оси применение теоремы Вариньона, согласно которой момент равнодействующей равен сумме моментов составляющих. Для применения этой теоремы силу, мо­мент которой требуется определить, раскладывают на со­ставляющие, одна из которых параллельна данной оси, а другие две перпендикулярны. Нахождение моментов этих составляющих обычно труда не представляет.

Если сила задана аналитически (т. е. заданы ее проек­ции и координаты точки приложения), то для определе­ния моментов силы относительно координатных осей поль­зуются формулами

(70)

где х, у, z - координаты точки приложения силы.

Рассмотрим теперь несколько примеров применения условий равновесия произвольной системы сил. При этом будем придерживаться следующей последовательности действий:

1) выяснить, равновесие какого тела будет рассмат­риваться в задаче и изобразить это тело на схеме;

2) построить на схеме все действующие на тело ак­тивные силы (как заданные, так и искомые);

3) определить виды связей, наложенных на рассмат­риваемое тело, мысленно отбросить их и заменить иx действие на тело соответствующими реакциями; построить эти реакции на схеме;

4) провести оси координат; желательно оси распола­гать так, чтобы они пересекали как можно больше неиз­вестных сил или были к ним перпендикулярны (если только это не усложнит вычисление проекций и момен­тов других сил);

5) определить вид полученной системы сил (включая активные силы и реакции), действующей на рассматри­ваемое тело, и составить соответствующие уравнения равновесия;

6) из полученных уравнений равновесия определить искомые величины и проанализировать полученные ре­зультаты.

В случае, когда из общей схемы трудно определить момент силы относительно оси, рекомендуется изобразить на вспомогательной схеме проекцию рассматриваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярную данной оси. Если же при вычислении момента силы от­носительно оси возникают затруднения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или пле­ча этой проекции, то рекомендуется разложить силу на составляющие и воспользоваться теоремой Вариньона.

Пример 1. На горизонтальный вал, лежащий в подшипниках А и В, перпендикулярно оси вала насажены шкив D радиусом r₂ = 30 см и барабан С радиусом r ₂ = 15 см (рис. 306). Вал при­водится во вращение ремнем, накинутым на шкив; при этом равномерно поднимается груз М весом Р = 2500 Н. Трос, с помощью которою поднимается груз М, сходит с барабана по касательной, образующей с горизонтом угол 30°; ведомая ветвь ремня образует угол 30° с вертикалью. Пренебрегая весом конструкции, найти реакции подшипников А и В и натяжение Т₁ ведущей ветви рем­ня, если Т₁ = 2Т₂. Необходимые размеры даны на рисунке

. Решение. Рассмотрим равновесие вала АВ со шкивом D и барабаном С. На это тело действуют активные силы натяжения ремней T₁ и Т₂, а также вес груза М. Последняя сила ( ) непо­средственно к барабану не приложена; поэтому мысленно оборвав трос на его наклонном участке, заменим его действие на барабан реакцией. Так как силой трения в блоке Е можно пренебречь, ре­акция троса будет равна весу груза М.

Связями, наложенными на вал AВ, являются цилиндрические шарниры (подшипники) А и В. Поэтому реакция каждого из них имеет произвольное направление в плоскости, перпендикулярной оси вала. Проведя оси координат, как показано на рис. 306, а, представим каждую из этих реакций в виде их составляющих вдоль осей Ах и Az. Так как направление этих сил за­ранее неизвестно, направим их в сторону положительных направ­лений осей координат. Если в ответе величины данных составля­ющих реакций получатся положительными, то их выбранные на­правления соответствуют действительности, если же отрицатель­ными, то в действительности они будут направлены в противопо­ложном (по сравнению с рисунком) направлении. Число неизвест­ных в задаче равно пяти ( , ) что не превышает числа уравнений равновесия; следовательно, задача является ста­тически определимой

Рис. 306

Составим уравнения равновесия полученной произвольной си­стемы сил { , , , } ∞ 0. При определении проекций сил и их моментов воспользуемся видом на нашу конструкцию о положительного направления оси Ау (рис. 306, б) —такой вид по­лезен во всех тех случаях, когда рассматриваемое тело имеет ось вращения. Так как все силы перпендикулярны оси Ау, то на плоскость Axz они проектируются без искажения.

Уравнения равновесия принимают вид

(1) ,

(2) ,

(3) ,

(4) ,

(5) ,

(6) .

Добавив к этим уравнениям равенство T₁= 2Т₂, получим систему шести уравнений с шестью неизвестными и решив ее, найдем из уравнения (5):

T₂ = Pr₂/r₂ = 2500·15/30 = 1250 Н, Т₁ = 2500 Н,

из уравнения (4): Н,

из уравнения (6); Н,

из уравнения (1): Х_А = Х_В – Рcos 30˚ - T₂ sin 30˚= -1037 Н,

из уравнения (3): Z_A = - Z_B+ Р sin 30° - T₁ - Т ₂ cos 30° = -2133 Н.

Величины реакций получились отрицательными. Это означает, что их направления в действительности противопо­ложны указанным направлениям на рисунке.

Полные реакции шарниров А и В определятся по формулам

Н, Н.

Пример 2. Однородная квадратная пластина ABCD весом Р = 120 Н (рис. 307) прикреплена к стене сферическим шарни­ром А и цилиндрическим шарниром В и удерживается в горизон­тальном положении нитью CED, переброшенной в точке Е через гладкий гвоздь. Часть нити СЕ составляет с плоскостью пластины угол γ = 30°. Найти натяжение нити и реакции шарниров А и В.

Р ешение. Рассмотрим равновесие пластины ABCD. На нее действует только одна активная сила , приложенная в центре пластины. Связями являются сферический шарнир А с реакциями цилиндрический шарнир В с реакциями , а также нить DEC. Для того чтобы освободить пластину от действия нити, последнюю надо мысленно перерезать в двух местах, а именно на участке СЕ и на участке DE.

Рис. 307 Поскольку гвоздь гладкий, натяжение нити в любом ее сечении постоянно, так что ее действие на пластину следует заменить двумя равными силами Т₁ = Т₂ = Т, приложенными в точках С и D.

Таким образом, освобожденная от связей пластина находится в равновесии под действием пространственной системы сил { }∞0. Проведем оси координат, как показано на рисунке 307, и составим уравнения равновесия пластины. При этом, определяя проекции силы методом двойного проектирования, т. е. сначала най­дем проекцию силы на плоскость Аху, а уже по ней найдем проекции на оси х и у: Т_1ху =T₁cos 30°, Т_1х = Т_1у = - Т_1xу cos 45° = - T₁ cos 30˚ cos 45°.

Определяя моменты сил и относительно осей координат, воспользуемся теоремой Вариньона. разложив cилy на состав­ляющие , , а силу— на составляющие . Для определения величины Т_2х и Т_2z надо найти синус и косинус уг­ла α, рассмотрев треугольники АЕС и AED: AC = AB√2, AE = AC tg 30° =АВ√6/3, sin α= AE/DE = , .

Теперь составим уравнения равновесия:

(1) ,

(2) ,

(3) ,

(4) ,

(5) ,

(6) .

Решив эту систему уравнении с учетом равенства Т₁= Т₂ = Т, получим

Т = 0,5Р/ (sin 30° + sin α) = 53 Н,

X_A= T (cos 30° cos 45° + cos α) = 73,1 Н,

Х_B = 0,

Yа = T cos 30° cos 45° = 32,6 Н,

Z_B = - T sin 30° + 0,5P = 33,5 H,

Z_a = - Z_b - T (sin 30° + sin α) + Р = 26,5 Н.

Найденные значения неизвестных положительны, поэтому на­правления реакций, показанные на риc. 307, соответствуют дейст­вительности. Как правило, при определении реакции ограничива­ются нахождением лишь их составляющих, что мы и будем де­лать в дальнейшем.

Пример 3. На прямоугольный параллелепи­пед (рис. 308) действуют силы и . Определить моменты этих сил относительно координатных осей, если ОA = 3 см, ОС = 4 см,

OL = 5 см, а модули сил равны 3 Н.

Р ешение. Найдем поль­зуясь опре-делением момента силы относительно оси. Для этого проектируем вектор на плоскость ABED, перпендикуляр-ную оси Ох.Полученная проекция будет направлена по BE и равна по мо­дулю

P₁= Р cos α.

Учитывая, что

сos α = ВЕ/ВК =5 / ,

Рис. 308 получим P₁=15/ Н. Далее,

10,28 Н·см.

Найдем теперь . Так как сила лежит в плос-кости ВЕКС, перпендикулярной оси Оу, то

= .

В свою очередь,

где h—длина перпендикуляра, опущенного из точки С на

линию действия силы Р.

Для определения h заметим, что

,

откуда

см.

Таким образом,

= Н·см.

Аналогично найдем

= = Н·см.

Определим теперь . Для этого проектируем силу на плоскость LKCO, перпендикулярную оси Ох. Получим вектор , направленный по диагонали LC и равный по модулю

H.

Согласно определению момента

,

где h₁ - длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы .

Для определения h₁ заметим, что

,

откуда

см..

Таким образом,

= - 8,49 Н·см..

Аналогично найдем момент силы относительно оси Оу:

Н·см.

Что касается , то он равен нулю, так как линия действия силы пересекает ось Оz.

Решим теперь эту задачу, используя теорему Вариньона. Для этого разложим силы на составляющие, параллельные осям. Так как , то .

Но , так как линия действия силы параллельна оси Ох, следовательно,

+ = АB·P₁ = 10,28 Н·см.

Разложим теперь силу на составляющие, направленные параллельно координатным осям: , где - составляю­щая, параллельная оси Ох.

Силу , направленную по диагонали LC, разложим на две состав­ляющие: - пo линии LK и - по линии LO.

Таким образом, .

Модуль Q₁ определим из подобия треугольников:

Q₁/Q = DL/LB,

откуда

1,273 Н.

Далее найдем

,

Н,

Н.

По теореме Вариньона

.

Силы и моментов относительно оси Ох не дают, следовательно,

= - 8,49 Н·см.

Аналогично определяют моменты относительно других осей. Эту же задачу можно решить, используя формулы (12). Предва­рительно найдем проекции силы :

Q_x = Q₁; Q_y = Q₂; Q_z = - Q₃

и координаты точки ее приложения: x_L = 0; у_L= 0; z_L = 5. По фор­муле (12)

- y_LQ₃ - z_LQ₂ = - 6 = - 8,49 Н·см,

z_LQ₁ + x_LQ₃ = 6,38 Н·см.

Аналогично находят остальные моменты.