2.1.3. Система параллельных сил и произвольная плоская система сил

Уравнения равновесия твердого тела под действием произвольной плоской системы сил можно записать в од­ной из следующих форм:

(59)

причем за центр моментов О принимают любую точку на плоскости;

(60)

при этом прямая АВ, соединяющая центры моментов А и В, не должна быть перпендикулярной оси проекций х:

(61)

при этом центры моментов А, В, С не должны лежать на одной прямой.

Если все силы, расположенные в плоскости, взаимно параллельны, то число уравнений равновесия сократится до двух. Эти уравнения можно записать в одной из двух форм:

(62)

где ось у параллельна силам:

(63)

при этом отрезок АВ, соединяющий центры моментов А и В, не должен быть параллелен силам.

Для получения наиболее простых уравнений равнове­сия (если это не усложняет ход решения в остальном) следует одну из координатных осей проводить перпенди­кулярно возможно большему числу неизвестных сил, а за центр моментов брать точку, в которой пересекается возможно большее число неизвестных сил.

При вычислении момента силы удобно иногда разла­гать данную силу на составляющие и пользоваться тео­ремой о моменте равнодействующей (теоремой Вариньона).

Если на тело наряду с силами действуют и пары, ле­жащие в плоскости сил, то при составлении уравнений равновесия в уравнения проекций пары не войдут, так как сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю. В уравнениях же моментов к моментам сил алгебраически прибавятся моменты пар, так как сумма моментов сил пары относительно любого центра равна моменту пары. При решении некоторых задач следует учитывать тре­ние скольжения или качения. Сила трения скольжения определяется по формуле

F_тр = fN, (64)

наибольшее значение момента трения каче­ния определяется по формуле

M = δN, (65)

где f – коэффициент трения скольжения,

δ - коэффициент трения качения в см;

N - модуль нор­мального давления.

Плоская система параллельных сил

Пример. Система, состоящая из трех грузов М₁, M₂, M₃ и блоков (рис. 198, а), находится в равновесии. Определить зависимость между весами грузов Р₁, Р₂, Р₃ и

Рис. 198

силы в тросах, если вес блока 3 равен Q, радиусы блоков r₁, r_2, r₃, r₄, r₅. Блоки 1 и 2, а также 4 и 5 по­парно жестко соединены между собой.

Решение. Система состоит из нескольких тел и находится в рав­новесии, следовательно, находятся в равновесии и блоки 1—2, 3, 4—5. Рассмотрим равновесие спаренных блоков 1—2 (рис. 198, б). Непосредственно приложенные силы: вес груза M₁ и суммарный вес блоков . Связями являются ось блока O₁ и трос 2—3.

Реакция троса направлена по тросу вертикально вниз. Реакция оси направлена вертикально вверх, так как все остальные си­лы вертикальны. Так как в задаче не требуется определить , то следует составить уравнение равновесия, не содержащее N₁. Таким уравнением является уравнение моментов относительно точки О₁:

,

откуда

.

Рассмотрим равновесие блока 3. Кроме веса груза и веса самого блока на него действует сила со стороны троса 2—3, на­правленная вертикально вверх и равная по модулю Т₂₃ в силу аксио­мы действия и противодействия. Связью является трос 3—4, реакция которого направлена вертикально вверх.

Составим уравнения равновесия этого блока (рис. 198, в);

.

Отсюда находим

Рассмотрим равновесие спаренных блоков 4—5 (рис. 198, г). На них действуют вес груза , суммарный вес блоков и сила со сто­роны троса 3—4, равная по модулю T₃₄, но направленная вертикаль­но вниз. Связью является ось блока О₂. Реакция этой оси направлена вертикально вверх. Поскольку не подлежит определению, составим уравнение равновесия, не включающее N₂. Таким уравнени­ем будет уравнение моментов относительно точки О₂:

,

отсюда

.