Показатели вариации.
Изменение величины признака от одной единицы совокупности к другой в статистике называют вариацией признака. Кроме средних величин для анализа исходной совокупности вычисляют абсолютные и относительные показатели вариации. К абсолютным показателям относятся:
1) Размах вариации (R) определяется, как разность между максимальным и минимальным значением признака в исходной совокупности R=Xmax-Xmin.
2) Среднее квартильное отклонение.
Определяется как половина разности
3-его и 1-ого квартиля:
.
3) Среднее линейное отклонение (d). Определяется, как средняя арифметическая величина из абсолютных отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Применяют 2 формулы для не сгруппированных данных и сгруппированных.
Для не сгруппированных:
;
для сгруппированных:
.
4) Дисперсия (
).
Определяется, как средняя арифметическая
величина из квадратов отклонений
индивидуальных значений признака от
из средней величины.
Для не сгруппированных:
;
для сгруппированных:
.
5) Среднее квадратическое отклонение представляет собой квадратный корень из дисперсии.
Для не сгруппированных:
;
для сгруппированных:
.
Среднее квадратическое отклонение показывает на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака (варианты) в исходной совокупности от средней величины. Показатель среднего квадратического отклонения применяется при оценке возможного риска в финансово-экономических расчетах.
Лекция №6.
К относительным показателям вариации относятся:
1. Коэффициент квартильной вариации, который вычисляется по формуле:
2. Коэффициент осцилляции:
.
3. Коэффициент вариации:
исходная совокупность считается однородной по изучаемому признаку, если коэффициент вариации меньше 33%. В этом случае средняя величина объективно представляет свою исходную совокупность. Пример вычисления показателей вариации:
Возраст депутата (полных лет) (X) |
Численность депутатов (кол-во человек) (ƒ)
|
Середины интервалов (X) |
|
|
|
20-29 |
1 |
24,5 |
23,2 |
23,2 |
538,24 |
30-39 |
16 |
34,5 |
13,2 |
211,2 |
2787,84 |
40-49 |
28 |
44,5 |
3,2 |
89,6 |
286,72 |
50-59 |
30 |
54,5 |
6,8 |
204 |
1387,2 |
60-69 |
7 |
64,5 |
16,8 |
117,6 |
1975,68 |
Итог: |
82 |
|
|
645,6 |
6975,68 |
;
R=69-20=49 (лет);
=7,9(лет);
=6975,68/82=85,07;
;
В среднем возраст каждого депутата отличается от среднего возраста для депутатов данной фракции на 9,2 лет. Данная совокупность депутатов считается однородной по возрасту, т. к. коэффициент вариации меньше 33%.
Математические свойства дисперсии.
Дисперсия, рассчитанная по отношению к средней величине, является минимальной.
Дисперсия постоянной величины равна 0.
Если все значения признака (варианты) увеличить (уменьшить) на какое-то постоянное число А, то дисперсия новой совокупности не изменится.
Если все значения признака (варианты) увеличить (умножить) в К раз, где К – постоянное число, то дисперсия новой совокупности увеличится (уменьшится) в К2 раз.
Если вычислена дисперсия по отношению к числу В, отличному от средней величины, то дисперсию исходной совокупности можно рассчитать по формуле:
.Дисперсию исходной совокупности можно рассчитать как разность между средней квадратов признака и квадратом средней величины.