- •Алгебра Підручник для 7 класу
- •Юні друзі!
- •§ 1. Рівняння
- •1. Поняття рівняння
- •Приклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •2. Розв’язування рівнянь. Властивості рівнянь
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •3. Лінійні рівняння з однією змінною
- •Підсумок
- •Д ля тих, хто хоче знати більше Рівняння з модулями
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •4. Розв’язування задач за допомогою рівнянь
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 1
- •Завдання для самоперевірки № 1
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 2. Цілі вирази
- •5. Вирази зі змінними. Цілі вирази
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •6. Тотожно рівні вирази. Тотожності
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 2
- •Завдання для самоперевірки № 2
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 3. Одночлени
- •7. Степінь з натуральним показником
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •8. Властивості степеня з натуральним показником
- •1. Множення степенів з однаковими основами.
- •2. Ділення степенів з однаковими основами.
- •3. Піднесення степеня до степеня.
- •4. Піднесення добутку до степеня.
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •9. Одночлен та його стандартний вигляд
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 3
- •Завдання для самоперевірки № 3
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 4. Многочлени
- •10. Многочлен та його стандартний вигляд
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •11. Додавання і віднімання многочленів
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •12. Множення одночлена на многочлен
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •13. Множення многочлена на многочлен
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •14. Розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Рівень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •15. Розкладання многочленів на множники способом групування
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 4
- •Завдання для самоперевірки № 4
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 5. Формули скороченого множенея
- •16. Множення різниці двох виразів на їх суму
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •17. Квадрат суми і квадрат різниці двох виразів
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •18. Розкладання на множники різниці квадратів двох виразів
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Рівень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •19. Розкладання многочленів на множники з використанням формул квадрата суми і квадрата різниці
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •20. Різниця і сума кубів двох виразів
- •П риклади розв’язання вправ
- •Рівень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •21. Застосування кількох способів для розкладання многочленів на множники
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •22. Застосування перетворень виразів
- •1. Порівняння значень многочлена з нулем.
- •2. Знаходження найбільшого і найменшого значень виразів.
- •3. Розв’язування задач на подільність.
- •4. Знаходження значень многочлена за допомогою мікрокалькулятора.
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 5
- •Завдання для самоперевірки № 5
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 6. Функції
- •23. Функція. Способи задання функції
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •24. Графік функції. Функція як математична модель реальних процесів
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Рівень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •25. Лінійна функція
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 6
- •Завдання для самоперевірки № 6
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
- •26. Рівняння із двома змінними
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •27. Графік лінійного рівняння із двома змінними
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •28. Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними
- •1. Системи лінійних рівнянь із двома змінними та їх розв’язки.
- •2. Розв’язування систем лінійних рівнянь графічним способом.
- •П риклади розв’язання вправ
- •29. Розв’язування систем лінійних рівнянь способом підстановки
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •30. Розв’язування систем лінійних рівнянь способом додавання
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •Вправи для повторення
- •31. Розв’язування задач за допомогою систем рівнянь
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 7
- •Завдання для самоперевірки № 7
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •Задачі за курс алгебри 7 класу
- •Задачі підвищеної складності До § 1. Лінійні рівняння з однією змінною
- •До § 2. Цілі вирази
- •До § 3. Одночлени
- •До § 4. Многочлени
- •До § 5. Формули скороченого множення
- •До § 6. Функції
- •До § 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
- •Логічні задачі
- •Вітчизняні математики
- •Відомості з курсу математики 5–6 класів Подільність натуральних чисел
- •Найбільший спільний дільник
- •Найменше спільне кратне
- •Десяткові дроби
- •Звичайні дроби
- •Додатні та від’ємні числа
- •Відповіді
- •Завдання для самоперевірки № 1
- •Завдання для самоперевірки № 2
- •Завдання для самоперевірки № 3
- •Завдання для самоперевірки № 4
- •Завдання для самоперевірки № 5
- •Завдання для самоперевірки № 6
- •Завдання для самоперевірки № 7
- •Задачі за курс алгебри 7 класу
- •Задачі підвищеної складності
- •Предметний покажчик
- •Розділ і. Лінійні рівняння з однією змінною
- •Розділ іі. Цілі вирази
- •Розділ ііі. Функції
- •§ 6. Функції
- •Розділ іv. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
- •§ 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
- •Навчальне видання
- •Алгебра
- •46010, М. Тернопіль, вул. Поліська, 6а. Тел. 8-(0352)-43-10-31, 43-15-15, 43-10-21.
П риклади розв’язання вправ
Приклад 1. Виконати множення:
а) (2x2 xy + 4y2)(2x 3y); б) (a + b)(а + 1)(b 1).
● а) (2x2 xy + 4y2)(2x 3y) = =
= 4x3 8x2y + 11xy2 12y3.
б) Знайдемо добуток перших двох многочленів, а потім одержаний добуток помножимо на третій многочлен:
(a + b)(а + 1)(b 1) = (a2 + а + bа + b)(b 1) =
= a2b a2 + аb a + b2a ba + b2 b = a2b a2 a + ab2 + b2 b. ●
Приклад 2. Розв’язати рівняння (х 2)(2х + 3) х(2х + 4) = 3.
● 2х2 + 3х 4х 6 2х2 4x = 3; 5х 6 = 3; 5х = 9; х = 1,8.
Відповідь. 1,8. ●
Усно
422. Виконайте множення:
a) (a + 2)(b + 1); б) (a + b)(c d); в) (x + y)(a + b c).
Р івень а
Перемножте многочлени:
423. а) (x + 2)(y + z); б) (b + а)(c 3);
в) (m 4)(n + k); г) (a b)(x y); д) (2a 3b)(2с + 5); е) (4a + 6b)(3d 2c);
є) (x + y)(a 5b + 2); ж) (2 c)(a b 2); з) (m n + 1)(k + l).
424. а) (a + b)(c + 3); б) (2x + y)(3 3z); в) (a 2b)(3х 4y);
г) (m + n)(a b + 1); д) (a + b 2)(с + 5); е) (2x y 1)(a 3b).
Перетворіть вираз у многочлен стандартного вигляду:
425. a) (a + 3)(4a 3); б) (5b 4)(3b 2);
в) (a2 + 3a 4)(3a 2); г) (n - m)(n + 4m);
д) (a 6b)(2a b); е) (4c - 3d)(3c + d).
426. а) (а - 2)(а + 3); б) (3x + 2)(2x - 1);
в) (a + 5b)(a b); г) (4x - 3y)(x - 2y).
Спростіть вираз:
427. а) (3a 4)(2a + 1) + 5a; б) (y + 3)(y 4) - y(y - 1);
в) (2x 5)(2x + 3) 4(x2 - x); г) (a2 + a 2)(а + 3) + 6 4а2;
д) (a + b)(a - 3b) + 2ab; е) (-х + 4y)(2x y) + 2x2 - 9xy.
428. а) (x + 2)(2x + 3) 2x2; б) (a 4)(3a - 4) + 16a 16;
в) (a + 2b)(3а - 4b) + 3аb - 3а2; г) 7mn + (m + 5n)(2m - 3n).
Розв’яжіть рівняння:
429. а) (х 1)(х + 2) - x2 = 3; б) (2y 1)(2 y) + 2y2 = 1.
430. а) (х + 3)(х 1) - х2 = 5; б) 5х2 + (1 х)(5х + 2) = 5.
Р івень б
Перетворіть вираз у многочлен стандартного вигляду:
431. а) (-3а + 2)(2а2 + 2a 3); б) (3x2 - 2x + 1)(2x2 + 5x);
в) (n2 - n + 3)(n2 + 2n + 2); г) (2b2 - 3b - 2)(4b2 + b - 4);
д) (c + 2)(c + 3)(c 5); е) (2x + 1)(2x - 5)(x2 + 3x + 2);
є) ж)
432. а) (4а + 3)(а2 4a + 2); б) (b2 - 2b + 3)(3b2 - 2b + 1);
в) (x - 2)(x + 5)(x - 4); г) (2y - 3)(y + 2)(4y2 + 3y - 3);
д) е)
433. а) (а + b)(а2 + 5ab b2); б) (4x2 - 3xy + y2)(2x 7y);
в) (3n2 - 2nm m2)(3n 2m); г) (3a - 2b)(а - 2b)(a2 + 2ab).
434. а) (2x + y)(x2 + 2xy 2y2); б) (a - b)(а + 2b)(3a 2b).
Спростіть вираз:
435. а) (3a 1)(2a + 5) + (2a 5)(3a + 1);
б) (x + 7)(8x - 1) (2x + 3)(4x - 1);
в) (a - 2)(1 - 2a + 2a2) - 2(a3 - 3a2 - 1);
г) (a2 - 2ab + 4b2)(a + 2b) - a3 b3;
д) (3xy2 - 7x2y)(3xy2 - 2x2y) + (3xy)3 - (3xy2)2.
436. а) (4x 3)(3x + 4) + (2x 3)(3x + 1);
б) (2b 7)(4b - 1) - (8b 3)(b + 1);
в) (x + 3y)(x2 - 3xy + 9y2) - 18y3;
г) (a + b)(a + b - 1) - a(a - 1) - b(b - 1).
Розв’яжіть рівняння:
437. а) (х 1)(х 3) = (х 2)(х + 3);
б) (2y 1)(1 y) + (y + 1)(2y 3) = 0;
в) (0,5х 3,5)(6х + 2) + 30х = 3х(х 3) - 26;
г)
438. а) (х + 6)(х 4) = (х 5)(х + 4);
б) (0,5x + 7)(4x - 1) (x + 14)(2x - 1) = 9;
в)
Доведіть, що значення виразу не залежать від значень х:
439. а) (х + 1)(х + 4) (х + 2)(х + 3);
б) (1 х)(2 х)(3 х) + (x - 4)(x2 - 2x + 3).
440. (х 3)(x2 + 7x - 3) (х + 2)(x2 + 2x - 28).
Доведіть, що для кожного цілого значення k значення виразу:
441. (2k + 1)(3k + 2) (2k - 1)(3k - 2) ділиться на 14.
442. (3k + 2)(4k - 3) (2k + 3)(k - 2) ділиться на 10.
443. Доведіть, що вираз (а2 + 3)(а2 - 1) - (а2 + 4)(а2 - 2) набуває лише додатних значень.
Доведіть тотожність:
444. а) (х + 3)(х2 - 1) = (х2 + 2х - 3)(х + 1);
б) (a b)(b - c)(c - a) = ab(b - a) + bc(c - b) + ca(a c).
445. а) (а + 2)(а2 - 2а 3) = (а 3)(а2 + 3а + 2);
б) (a + b)(b - c) - (a - b)(b + c) = 2(b2 ac).
446. Знайдіть три послідовних цілих числа, квадрат найменшого з яких на 11 менший від добутку двох інших чисел.
447. Довжина прямокутника в 1,8 разу більша від ширини. Якщо довжину прямокутника збільшити на 3 см, а ширину зменшити на 2 см, то площа зменшиться на 9 см2. Знайдіть довжину і ширину прямокутника.
448. Довжина прямокутника на 4 см більша від ширини. Якщо довжину прямокутника зменшити на 1 см, а ширину збільшити на 2 см, то площа збільшиться на 10 см2. Знайдіть довжину і ширину прямокутника.