- •Алгебра Підручник для 7 класу
- •Юні друзі!
- •§ 1. Рівняння
- •1. Поняття рівняння
- •Приклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •2. Розв’язування рівнянь. Властивості рівнянь
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •3. Лінійні рівняння з однією змінною
- •Підсумок
- •Д ля тих, хто хоче знати більше Рівняння з модулями
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •4. Розв’язування задач за допомогою рівнянь
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 1
- •Завдання для самоперевірки № 1
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 2. Цілі вирази
- •5. Вирази зі змінними. Цілі вирази
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •6. Тотожно рівні вирази. Тотожності
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 2
- •Завдання для самоперевірки № 2
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 3. Одночлени
- •7. Степінь з натуральним показником
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •8. Властивості степеня з натуральним показником
- •1. Множення степенів з однаковими основами.
- •2. Ділення степенів з однаковими основами.
- •3. Піднесення степеня до степеня.
- •4. Піднесення добутку до степеня.
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •9. Одночлен та його стандартний вигляд
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 3
- •Завдання для самоперевірки № 3
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 4. Многочлени
- •10. Многочлен та його стандартний вигляд
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •11. Додавання і віднімання многочленів
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •12. Множення одночлена на многочлен
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •13. Множення многочлена на многочлен
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •14. Розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Рівень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •15. Розкладання многочленів на множники способом групування
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 4
- •Завдання для самоперевірки № 4
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 5. Формули скороченого множенея
- •16. Множення різниці двох виразів на їх суму
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •17. Квадрат суми і квадрат різниці двох виразів
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •18. Розкладання на множники різниці квадратів двох виразів
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Рівень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •19. Розкладання многочленів на множники з використанням формул квадрата суми і квадрата різниці
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •20. Різниця і сума кубів двох виразів
- •П риклади розв’язання вправ
- •Рівень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •21. Застосування кількох способів для розкладання многочленів на множники
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •22. Застосування перетворень виразів
- •1. Порівняння значень многочлена з нулем.
- •2. Знаходження найбільшого і найменшого значень виразів.
- •3. Розв’язування задач на подільність.
- •4. Знаходження значень многочлена за допомогою мікрокалькулятора.
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 5
- •Завдання для самоперевірки № 5
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 6. Функції
- •23. Функція. Способи задання функції
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •24. Графік функції. Функція як математична модель реальних процесів
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Рівень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •25. Лінійна функція
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 6
- •Завдання для самоперевірки № 6
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
- •26. Рівняння із двома змінними
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •27. Графік лінійного рівняння із двома змінними
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •28. Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними
- •1. Системи лінійних рівнянь із двома змінними та їх розв’язки.
- •2. Розв’язування систем лінійних рівнянь графічним способом.
- •П риклади розв’язання вправ
- •29. Розв’язування систем лінійних рівнянь способом підстановки
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •30. Розв’язування систем лінійних рівнянь способом додавання
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •Вправи для повторення
- •31. Розв’язування задач за допомогою систем рівнянь
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 7
- •Завдання для самоперевірки № 7
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •Задачі за курс алгебри 7 класу
- •Задачі підвищеної складності До § 1. Лінійні рівняння з однією змінною
- •До § 2. Цілі вирази
- •До § 3. Одночлени
- •До § 4. Многочлени
- •До § 5. Формули скороченого множення
- •До § 6. Функції
- •До § 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
- •Логічні задачі
- •Вітчизняні математики
- •Відомості з курсу математики 5–6 класів Подільність натуральних чисел
- •Найбільший спільний дільник
- •Найменше спільне кратне
- •Десяткові дроби
- •Звичайні дроби
- •Додатні та від’ємні числа
- •Відповіді
- •Завдання для самоперевірки № 1
- •Завдання для самоперевірки № 2
- •Завдання для самоперевірки № 3
- •Завдання для самоперевірки № 4
- •Завдання для самоперевірки № 5
- •Завдання для самоперевірки № 6
- •Завдання для самоперевірки № 7
- •Задачі за курс алгебри 7 класу
- •Задачі підвищеної складності
- •Предметний покажчик
- •Розділ і. Лінійні рівняння з однією змінною
- •Розділ іі. Цілі вирази
- •Розділ ііі. Функції
- •§ 6. Функції
- •Розділ іv. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
- •§ 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
- •Навчальне видання
- •Алгебра
- •46010, М. Тернопіль, вул. Поліська, 6а. Тел. 8-(0352)-43-10-31, 43-15-15, 43-10-21.
§ 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
26. Рівняння із двома змінними
1. Поняття рівняння із двома змінними. Ви вже вмієте розв’язувати лінійні рівняння з однією змінною та рівняння, що зводяться до лінійних. Нагадаємо, що лінійне рівняння з однією змінною це рівняння виду aх = b, де a і b деякі числа, а х змінна.
Розглянемо приклад, який приводить до рівняння із двома змінними.
Нехай відомо, що сума деяких двох чисел дорівнює 8. Якщо одне із чисел позначити через х, а друге через y, то матимемо рівняння
х + y = 8,
яке містить дві змінні x та y. Таке рівняння називають рівнянням із двома змінними.
Рівняння
3х 2y = 1, 0х + 4y = 5, x2 + y2 = 9, xy = 10
теж є рівняннями із двома змінними. Перші два із цих рівнянь є рівняннями виду aх + by = c, де a, b і с числа. Такі рівняння називають лінійними рівняннями із двома змінними.
Означення |
Лінійним рівнянням із двома змінними називають рівняння виду aх + by = c, де x та y змінні, a, b і с деякі числа (коефіцієнти рівняння). |
2. Розв’язки рівняння із двома змінними. Розглянемо рівняння х + y = 8. Якщо х = 2, y = 6, то це рівняння перетворюється у правильну числову рівність 2 + 6 = 8. Кажуть, що пара значень змінних х = 2, y = 6 є розв’язком рівняння х + y = 8.
Означення |
Розв’язком рівняння із двома змінними називають пару значень змінних, для яких рівняння перетворюється у правильну числову рівність. |
Розв’язками рівняння х + y = 8 є й такі пари чисел:
х = 4, y = 4; х = 4,5, y = 3,5; х = 10, y = 2.
Скорочено ці розв’язки записують так: (4; 4); (4,5; 3,5); (10; 2). У цих записах на першому місці пишуть значення змінної х, а на другому значення змінної y. Це пов’язано з тим, що змінну х умовно вважають першою змінною, а змінну y другою.
Щоб знайти розв’язок рівняння із двома змінними, можна підставити в рівняння довільне значення однієї змінної і, розв’язавши одержане рівняння з однією змінною, знайти відповідне значення іншої змінної. Для прикладу знайдемо кілька розв’язків рівняння х + y = 8.
Нехай х = 7, тоді 7 + y = 8, звідки y = 8 7; y = 1.
Нехай х = 3, тоді 3 + y = 8, звідки y = 8 + 3; y = 11.
Ми знайшли два розв’язки (7; 1) і (3; 11). Надаючи змінній х інших значень, одержимо інші розв’язки рівняння. Рівняння х + y = 8 має безліч розв’язків.
Шукати розв’язки рівнянь із двома змінними можна іншим способом, який обумовлюється властивостями рівнянь.
3. Властивості рівнянь із двома змінними. Властивості рівнянь із двома змінними такі ж, як і рівнянь з однією змінною, а саме:
1. У будь-якій частині рівняння можна виконати тотожні перетворення виразів (розкрити дужки, звести подібні доданки).
2. Будь-який доданок можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.
3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те ж, відмінне від нуля, число.
Розглянемо рівняння
3х + 2y = 9.
Використовуючи властивості рівнянь, виразимо з цього рівняння одну змінну через іншу, наприклад, y через х. Для цього перенесемо доданок 3х у праву частину, змінивши його знак на протилежний:
2y = 3х + 9.
Поділимо обидві частини одержаного рівняння на 2:
y = 1,5x + 4,5.
Користуючись формулою y = 1,5x + 4,5, можна знайти скільки завгодно розв’язків даного рівняння. Для цього досить узяти довільне значення x і обчислити відповідне значення y. Пари деяких відповідних значень x та y подамо у вигляді таблиці.
x |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
y = 1,5x + 4,5 |
10,5 |
9 |
7,5 |
6 |
4,5 |
3 |
1,5 |
0 |
1,5 |
Пари чисел кожного стовпчика розв’язки рівняння 3х + 2y = 9.