Р івень в

449. Спростіть вираз (х - а)(х - b)(х - с)...(х - z), що є добутком 26 множників, у яких від змінної х віднімаються змінні, позначені всіма 26 буквами латинського алфавіту.

450. Спростіть вираз (n  натуральне число):

а) (aⁿ + bⁿ)(aⁿ  bⁿ + 1)  a²ⁿ + b²ⁿ; б) (1 + 2^n + 1)(5  2^n + 1) + 4^n + 1.

451. Доведіть тотожність:

а) (a + b + c)(a² + b² + c²  ab  bc  ca) = a³ + b³ + c³  3abc;

б) a³ + b³ + c³ = 3abc, якщо a + b + c = 0.

452. а) Одне із цілих чисел при діленні на 6 дає в остачі 2, а друге  в остачі 3. Доведіть, що добуток цих чисел ділиться на 6 без остачі.

б) Числа a, b і c при діленні на 4 дають відповідно в остачі 1, 2 і 3. Доведіть, що число abc + 2 ділиться на 4 без остачі.

453. Дано чотири послідовних цілих числа. Що більше — добуток найменшого і найбільшого із цих чисел чи добуток інших двох чисел — і на скільки більше?

454. Дві ділянки прямокутної форми мають рівні площі. Довжина другої ділянки на 2 м менша, ніж довжина першої, а ширина другої ділянки на 1 м більша, ніж ширина першої. Доведіть, що довжина першої ділянки удвічі більша від ширини другої.

455. Дано два многочлени:

х⁴ + 987х³ – 876х² + 765х – 654 і 9876х⁴ – 9800х² – 75.

Чому дорівнює сума коефіцієнтів многочлена стандартного вигляду, який є добутком даних многочленів?

Вправи для повторення

456. За 2 ручки і 8 зошитів Олег заплатив 4 грн. 20 коп. Скільки коштує ручка, якщо вона на 10 к. дорожча від зошита?

457. Моторний човен проплив 72 км, рухаючись 3 год проти течії річки і 2 год — за течією. Знайдіть швидкість течії річки, якщо швидкість човна у стоячій воді дорівнює 15 км/год.

458. Від пристані А до пристані В катер плив на 20 хв довше, ніж від В до А. Знайдіть відстань між пристанями, якщо швидкість катера у стоячій воді дорівнює 19,2 км/год, а швидкість течії річки — 2,4 км/год.

459. Розв’яжіть рівняння:

a) 3x – 6 = 9; б) 2x – 3 = x;

в) x - 4 = 3(4 – x – 4); г) x(x – 1) = 2 + x².

460. Обчисліть:

а) 37 · 48 + 37 · 52; б) 9,3 · 5,6 – 9,3 · 5,5; в) 1,6 · 8,8 – 3,8 · 1,6.

461. Запишіть одночлен 24a³b⁴ у вигляді добутку двох одночленів, одним із яких є:

а) 3a²b²;  б) 8b³; в) 4ab⁴; г) 12a³.

14. Розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки

1. У шостому класі ми розкладали на множники числа. Наприклад, число 60 можна записати у вигляді добутку двох чисел 12 і 5:

60 = 12  5.

Кажуть, що число 60 розкладено на два множники 12 і 5.

Розкладати на множники можна і многочлени. Наприклад,

аb + аc = а(b + c).

Записавши многочлен аb + ac у вигляді добутку а(b + c), кажуть, що многочлен ab + аc розкладено на два множники а і b + c. Кожний із цих множників є многочленом (перший многочлен складається лише з одного члена).

Розкласти многочлен на множники означає подати його як добуток кількох многочленів.

Порівняйте

а(b + c) = аb+ аc	—	помножили одночлен на многочлен; результат — многочлен
аb+ аc = а(b + c)	—	розклали многочлен на множники; результат — добуток одночлена і многочлена

2. Розглянемо один зі способів розкладання многочленів на множники.

Виконаємо множення одночлена на многочлен:

x(x + y) = x  x + x  y = x² + xy.

Перепишемо ці рівності у зворотному порядку:

x² + xy = x  x + x  y = x(x + y).

Многочлен x² + xy розклали на два множники x та x + y. Щоб розкласти многочлен x² + xy на множники, досить у його членах x² та xy виділити спільний множник x: x² + xy = x  x + x  y, а потім на основі розподільної властивості множення записати одержаний вираз у вигляді добутку многочленів x та x + y.

Описаний спосіб розкладання многочленів на множники називають способом винесення спільного множника за дужки.