П риклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розв’язати рівняння

● Помноживши обидві частини рівняння на 14, матимемо:

    2(х  8) = 3х  31;    2х  16 = 3х  31;

2х  3х = 31 + 16;     х = 15;     х = 15.

Відповідь. 15. ●

Приклад 2. Розв’язати рівняння 25(z  3) + 100z = 125.

● Поділивши обидві частини рівняння на 25, матимемо:

z  3 + 4z = 5;     5z = 5 + 3;     5z = 8;     z = 1,6.

Відповідь. 1,6. ●

Усно

23. Назвіть властивість рівнянь, на основі якої здійснено перехід від першого рівняння до другого:

а) 2х  5 = 1; 2х = 1 + 5; б) 3х + 2 = 5х + 4; 3х  5х = 4  2;

в) 2(х  2) = х; 2х  4 = х; г)  = х; 1  4х  = 3х.

24. Обидві частини рівняння х(х  1) = 2х поділили на х й одержали рівняння х  1 = 2. Чи мають ці рівняння одні й ті ж корені? Чи можна, розв’язуючи рівняння х(х  1) = 2х, ділити обидві його частини на х?

25. Поясніть кожний крок розв’язання рівняння:

а) 3(х  2) = 5х + 4 3х  6 = 5х + 4 3х  5х = 4 + 6 2х = 10 х = 10 : (2) х = 5;

б)    1 + 2х = 12 + 3х     2х  3х = 12  1       х = 11         х =  11.

Р івень А

Розв’яжіть рівняння:

26. а) 7х  4 = 3х  9; б) 2х + 3(х + 1) = 8.

27. а) 8х + 4 = 3х + 4; б) 4(х – 3) = х.

28. а) 30(х + 2) = 15(х  2); б) 200(х – 1) = 300.

29. а) 161(2х + 2) = 161х; б) 50(х + 3) = 250(х + 1).

30. а)  б)  (х + 1) = ; в) 

31. а)  б) (х  5) = 1; в) 

Р івень Б

Розв’яжіть рівняння:

32. а) 200(х  5) = 100(х + 1) + 500;

б) 350х + 250(5х  4)  800 = 0;

в)  ; г) 

33. а) 210(х  12) + 140(х + 18) = 70; б) 

34. а)  б) 

35. а)  б) 

Р івень В

36. Розв’яжіть рівняння:

а) (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4) = (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 5);

б) 

Вправи для повторення

37. Знайдіть значення виразу:

а) 2(а + 1)  4(а  2), якщо а = 0,1;

б) 1,4x  (1 + 0,7x)  (3,3х  2), якщо х = 2,25;

в) 2(а + b  2)  a + 2b  4, якщо а = 3; b = 1.

38. У сьомих класах навчається 84 учні, що становить усіх учнів школи. Скільки всього учнів у школі?

39. У місті зараз проживає 52 000 жителів. Відомо, що населення цього міста щороку збільшується на 4%.

а) Скільки жителів буде в місті через рік?

б) Скільки жителів було в місті рік тому?

3. Лінійні рівняння з однією змінною

Розглянемо рівняння

2х = –4; –1,7х = 5,1; 0х = 2,4.

Ліва частина кожного із цих рівнянь є добутком деякого числа й змінної, а права частина — деяким числом. Такі рівняння називають лінійними рівняннями з однією змінною.

Означення

Рівняння виду aх = b, у якому a і b  деякі відомі числа, а х  змінна, називають лінійним рівнянням з однією змінною.

Числа a і b називають коефіцієнтами лінійного рівняння.

Коли, розв’язуючи рівняння, виконують певні перетворення, зводячи дане рівняння до більш простого, то в багатьох випадках отим «простим» рівнянням є саме лінійне рівняння.

З’ясуємо, скільки коренів може мати лінійне рівняння. Для цього розглянемо спочатку такі три рівняння:

1) 3х = 2; 2) 0х = 2; 3) 0х = 0.

1) Щоб розв’язати рівняння 3х = 2, досить обидві його частини поділити на 3. Одержимо один корінь:

2) У рівнянні 0х = 2 значення лівої частини дорівнює 0 для будь-якого числа х. Права ж частина рівняння відмінна від нуля. Отже, дане рівняння коренів не має.

3) Рівність 0х = 0 є правильною для будь-якого числа х. Тому коренем рівняння 0х = 0 є будь-яке число (рівняння має безліч коренів).

У загальному випадку для лінійного рівняння aх = b матимемо:

якщо а  0, то рівняння має єдиний корінь

якщо а = 0, а b  0, то рівняння коренів не має;

якщо а = 0 і b = 0, то коренем рівняння є будь-яке число (рівняння має безліч коренів).