Д ля тих, хто хоче знати більше
Доведемо, що системи (1) і (2) мають одні й ті ж розв’язки.
Нехай пара чисел (a; b) довільний розв’язок системи (1), тоді правильними є числові рівності 3а + 2b = 21 і 5а 2b = 19. Додавши ці рівності, одержимо правильну рівність 8а = 40. Оскільки рівності 8а = 40 і 5а 2b = 19 правильні, то пара чисел (a; b) є розв’язком системи (2). Ми показали, що довільний розв’язок системи (1) є розв’язком системи (2).
Навпаки, нехай пара чисел (с; d) довільний розв’язок системи (2), тоді правильними є числові рівності 8c = 40 і 5c 2d = 19. Віднімемо від першої із цих рівностей другу. Одержимо правильну рівність 3c + 2d = 21. Оскільки рівності 3c + 2d = 21 і 5c 2d = 19 правильні, то пара чисел (c; d) є розв’язком системи (1). Ми показали, що довільний розв’язок системи (2) є розв’язком системи (1).
Отже, системи (1) і (2) мають одні й ті ж розв’язки.
П риклади розв’язання вправ
Приклад 1. Розв’язати способом додавання систему рівнянь
● Помножимо обидві частини першого рівняння системи на 2. Отримаємо систему
Почленно додавши рівняння останньої системи, матимемо:
3у = 9; у = 3.
Підставимо у перше рівняння системи замість у число 3 і розв’яжемо одержане рівняння:
3х + 15 = 9; 3х = 6; х = 2.
Відповідь. (2; 3). ●
Р івень А
Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання:
973. а)
б)
в)
974. а)
б)
в)
975. а) 
б)
в)
976. а)
б)
в)
г)
д)
е)
977. а)
б)
в) 
г)
Р івень Б
Знайдіть розв’язки системи рівнянь:
978. а)
б)
в) 
г)
979. а)
б)
980. а)
б)
в)
г)
981. а)
б)
982. Чи має розв’язок система рівнянь:
а)
б)
Р івень В
983. Чи має розв’язок система рівнянь:
а)
б)
984. Доведіть, що графіки рівнянь 6х + 5у = 7, 2х 3у = 7 і 4х + у = 0 проходять через одну й ту ж точку.
985. Розв’яжіть систему рівнянь:
а)
б)
в)
г)
986. Скільки розв’язків має система
рівнянь
залежно від значень коефіцієнта а?
987. Знайдіть такі числа a, b, c і d, для яких є правильною кожна з рівностей:
а = bcd; a + b = cd; a + b + c = d; a + b + c + d = 1.
Вправи для повторення
988. Запишіть відповідні рівності:
а) сума чисел x та у у 5 разів більша від їх різниці;
б) добуток чисел а і b на 12 більший від їх частки;
в) сума чисел x та у становить третину їх добутку.
989. Одне число більше від іншого втричі, а їхня сума дорівнює 36. Знайдіть ці числа.
990. Знайдіть два числа, сума яких дорівнює 49, а різниця 17.
991. Брат старший від сестри удвічі. А 5 років тому він був старший від сестри на 7 років. Скільки років кожному?
992. Вкладник зняв з рахунку в банку 20% усіх грошей, а через годину 30% залишку. Після цього на його рахунку залишилося 280 грн. Який був початковий вклад?
31. Розв’язування задач за допомогою систем рівнянь
Ви вже розв’язували задачі за допомогою рівнянь з однією змінною. Розв’яжемо задачу, склавши систему рівнянь.
Задача. Швидкість моторного човна за течією річки дорівнює 24 км/год, а проти течії 19 км/год. Яка швидкість човна у стоячій воді та яка швидкість течії річки?
● Нехай швидкість човна у стоячій воді дорівнює х км/год, а швидкість течії річки — у км/год. Швидкість човна за течією річки (24 км/год) дорівнює сумі його швидкості у стоячій воді та швидкості течії річки, тому маємо рівняння
х + у = 24.
Швидкість човна проти течії річки (19 км/год) дорівнює різниці швидкості човна у стоячій воді та швидкості течії річки, тому
х у = 19.
Щоб відповісти на запитання задачі, потрібно знайти такі значення х та у, які задовольняли б і перше, і друге рівняння, тобто які задовольняли б систему цих рівнянь:
Розв’язавши систему, одержимо: х = 21,5; у = 2,5.
Відповідь. Швидкість човна у стоячій воді дорівнює 21,5 км/год; швидкість течії річки — 2,5 км/год. ●
Цю задачу можна було б розв’язати, склавши рівняння з однією змінною. Однак для складання такого рівняння довелося б провести складніші міркування.
Щоб розв’язати задачу за допомогою систем рівнянь, поступають так: 1) позначають деякі дві невідомі величини буквами; 2) використовуючи умову задачі, складають два рівняння з вибраними невідомими; 3) записують систему цих рівнянь і розв’язують її; 4) відповідають на поставлені в задачі запитання. |